Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 66 стр.

   Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства
с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической
функции, будем иметь:
                 y'/y = vu'/u +v' ln u, откуда y' = y (vu'/u +v' ln u).
Итак,
                           (u v)'=u v (vu'/u+v' ln u), u > 0.
Например, если y = x sin x, то y' = x sin x (sin x/x + cos x⋅ ln x).
   Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x, т.е. имеет в этой
                                           Δy
точке конечную производную y', то             = y'+α, где α→0 при Δх→ 0; отсю-
                                           Δx
да Δ y = y' Δх + α x.
    Главная часть приращения функции, линейная относительно Δх, назы-
вается дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y' Δх. Если поло-
жить в этой формуле y=x, то получим dx = x'Δх = 1⋅Δх =Δх, поэтому
                                                                dy
dy=y'dx, т. е. символ для обозначения производной                  можно рассматри-
                                                                dx
вать как дробь.
   Приращение функции Δ y есть приращение ординаты кривой, а диффе-
ренциал dy есть приращение ординаты касательной.
   Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y ′= f ′(x). Произ-
водная от этой производной называется производной второго порядка
                                                                          d2y
функции f(x), или второй производной, и обозначается y ′′, f ′′(x),            .
                                                                          dx 2
     Аналогично определяются и обозначаются:
                                                     d 3y
     производная третьего порядка - y ′′′, f ′′′(x),      ,
                                                     dx 3
                                                          d4y
     производная четвертого порядка - y I V , f I V (x), 4
                                                          dx
                                                             dny
     и вообще производная n-го порядка - y , f (x), n .
                                            (n)      (n)

                                                             dx
    Пример 3.15. Вычислить производную функции y=(3x3-2x+1)⋅sin x.
    Решение. По правилу 3, y'=(3x3-2x+1)'⋅sin x + (3x3-2x+1)⋅(sin x)' =
= (9x2-2)sin x + (3x3-2x+1)cos x.
                                        ex
     Пример 3.16. Найти y', y = tg x +      .
                                       1+ x




64