Составители:
Рубрика:
65
Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного,
получим: y'=(tgx +
e
x
x
1 +
)' = (tgx)' + (
e
x
x
1 +
)' =
1
cos x
2
+
(e x)-(1+ x) e
x)
xx
2
′
+
′
+
)(
(
1
1
=
=+
+−
+
=
11
1cos x
x)e e
x)
2
xx
2
(
(
1
1cos x
xe
x)
2
x
2
+
+(
.
Пример 3.17. Найти производную сложной функции y= uu
2
+−31,
u=x
4
+1.
Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим:
y'
x
=y
'
u
u'
x
=( uu
2
+−31)'
u
(x
4
+1)'
x
=(2u +
3
2
4
u
x
3
) ⋅ . Так как u=x
4
+1,то
(2 x
4
+2+
3
21
4
x
x
4
3
+
⋅)
.
Пример 3.18. Найти производную функции y=
e
x
2
.
Решение. Представим функцию y=
e
x
2
в виде суперпозиции двух функ-
ций: y = e
u
и u = x
2
. Имеем: y'
x
=y
'
u
u'
x
= (e
u
)'
u
(x
2
)'
x
= e
u
⋅2x. Подставляя x
2
вместо u, получим y=2x
e
x
2
.
Пример 3.19. Найти производную функции y=ln sin x.
Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln
u вычисляется по формуле y' = (ln u)'
u
(sin x)'
x
=
1
u
cos x =
cos x
sin x
ctg x
⋅=.
Пример 3.20. Найти производную функции y=
tg
1
2
x
.
Решение. Случай сложной функции, полученной в результате несколь-
ких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением прави-
ла 5:
′
=
⋅
⋅
′
=y
tg x / 2
tg
1
2
x)
xx
1
2
(
1
2
1
2
⋅
⋅⋅
′
=
⋅tg x / 2
sec x (
1
2
x)
sec
1
2
x
4tg x/2
2
x
2
.
Пример 3.21. Вычислить производную y=ln
()(
()
xx-1)
xe
27
3tg 5x
+
+
43
61
5
2
3
.
Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим:
y=5/3ln(x
2
+4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x
3
+1)-1/3tg 5x.
Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:
′
⋅
+
+−
+
−y=
5
3
x
x
x-1
x
xcosx
2
2
32
2
4
7
3
12
61
5
35
.
7.2. Предельный анализ в экономике. Эластичность функции
Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного,
ex ex 1 (e x )′ (1 + x) - (1+ x)′e x
получим: y'=(tgx + )' = (tgx)' + ( )' = + =
1+ x 1+ x cos 2 x (1 + x) 2
1 (1 + x)e x − e x 1 xe x
= + = + .
cos 2 x (1 + x) 2 cos 2 x (1 + x) 2
Пример 3.17. Найти производную сложной функции y= u 2 + 3 u − 1 ,
u=x4 +1.
Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим:
3
y'x =y 'u u'x =( u 2 + 3 u − 1 )'u(x4 +1)'x =(2u + 4
) ⋅ 4 x 3 . Так как u=x +1,то
2 u
3
(2 x4 +2+ ) ⋅ 4x 3 .
2 x +1
4
2
Пример 3.18. Найти производную функции y= e x .
2
Решение. Представим функцию y= e x в виде суперпозиции двух функ-
ций: y = eu и u = x2. Имеем: y'x =y 'u u'x = (eu)'u(x2)'x = eu ⋅2x. Подставляя x2
2
вместо u, получим y=2x e x .
Пример 3.19. Найти производную функции y=ln sin x.
Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln
1 cos x
u вычисляется по формуле y' = (ln u)'u(sin x)'x=
⋅ cos x = = ctg x .
u sin x
1
Пример 3.20. Найти производную функции y= tg x .
2
Решение. Случай сложной функции, полученной в результате несколь-
ких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением прави-
ла 5:
1
sec 2
x
1 1 1 2 1 1 2
y ′x = ⋅ ( tg x) ′x = ⋅ sec x ⋅ ( x) ′x = .
2 ⋅ tg x / 2 2 2 ⋅ tg x / 2 2 2 4 ⋅ tg x / 2
( x 2 + 4) 5 (3x - 1) 7
Пример 3.21. Вычислить производную y=ln 3 .
(6x 3 + 1) 2 e tg 5x
Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим:
y=5/3ln(x2+4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x3+1)-1/3tg 5x.
Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:
5 2x 7 12 x 2 5
y′ = ⋅ 2 + − 3 − .
3 x + 4 3x - 1 6x + 1 3cos 2 5x
7.2. Предельный анализ в экономике. Эластичность функции
65
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
