Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

68
7.3. Экстремум функции
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором
интервале,
если при x
1
< x
2
выполняется неравенство f(x
1
) < f (x
2
) (f(x
1
) >
f(x
2
)).
Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает
(убывает), то ее производная на этом отрезке f ′(x) > 0 (f ′(x) < 0).
Точка x
о
называется точкой локального максимума (минимума) функ-
ции f(x), если существует окрестность точки x
о
, для всех точек которой
верно неравенство f(x) ≤ f(x
о
) (f(x) ≥ f(x
о
)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а
значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Необходимые условия экстремума. Если точка x
о
является точкой экс-
тремума функции f(x), то либо f ′(x
о
) = 0, либо f ′(x
о
) не существует. Такие
точки называют критическими, причем сама функция в критической точке
определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических
точек.
Первое достаточное условие. Пусть x
о
- критическая точка. Если f ′ (x)
при переходе через точку x
о
меняет знак плюс на минус, то в точке x
о
функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при пере-
ходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x
о
экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную
f ′ (x) в окрестности точки x
о
и вторую производную f(x)
0
′′
в самой точке
x
о
. Если f ′(x
о
) = 0,
f(x)
0
′′
>0 (
f(x)
0
′′
<0), то точка x
о
является точкой локаль-
ного минимума (максимума) функции f(x). Если же
f(x)
0
′′
=0, то нужно ли-
бо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие
производные.
На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или
наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка
[a,b].
Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) = 2x
3
- 15x
2
+ 36x - 14.
Решение. Так как f ′ (x) = 6x
2
- 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические
точки функции x
1
= 2 и x
2
= 3. Экстремумы могут быть только в этих точ-
ках. Так как при переходе через точку x
1
= 2 производная меняет знак плюс
на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через
точку x
2
= 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x
2
=
3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x
1
= 2 и x
2
= 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и мини-
мум f(3) = 13. 
     7.3. Экстремум функции
     Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором
интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство f(x1) < f (x2) (f(x1) >
f(x2)).
     Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает
(убывает), то ее производная на этом отрезке f ′(x) > 0 (f ′(x) < 0).
     Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функ-
ции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой
верно неравенство f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)).
     Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а
значения функции в этих точках - ее экстремумами.
     Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экс-
тремума функции f(x), то либо f ′(xо) = 0, либо f ′(xо) не существует. Такие
точки называют критическими, причем сама функция в критической точке
определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических
точек.
     Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f ′ (x)
при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо
функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при пере-
ходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо
экстремума нет.
     Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную
f ′ (x) в окрестности точки xо и вторую производную f ′′(x 0 ) в самой точке
xо. Если f ′(xо) = 0, f ′′(x 0 ) >0 ( f ′′(x 0 ) <0), то точка xо является точкой локаль-
ного минимума (максимума) функции f(x). Если же f ′′(x 0 ) =0, то нужно ли-
бо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие
производные.
     На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или
наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка
[a,b].
     Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) = 2x3 - 15x2+ 36x - 14.
     Решение. Так как f ′ (x) = 6x2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические
точки функции x1 = 2 и x2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точ-
ках. Так как при переходе через точку x1 = 2 производная меняет знак плюс
на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через
точку x2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x2 =
3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x1 = 2 и x2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и мини-
мум f(3) = 13.

68

Страницы