Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 71 стр.

    Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле ка-
менной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной
сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a по-
гонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет
иметь наибольшую площадь?
    Решение. Обозначим стороны площадки через x и y. Площадь площад-
ки равна S = xy. Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда
по условию должно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому y = a - 2x и
S = x(a - 2x), где 0 ≤ x ≤ a/2 (длина и ширина площадки не могут быть от-
рицательными). S ′ = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a - 2⋅a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, про-
верим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x
< a/4 S ′ >0, а при x >a/4 S ′ <0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет мак-
симум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a2 /8 (кв. ед).
    Поскольку S непрерывна на [0, a/2] и ее значения на концах S(0) и
S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением
функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон пло-
щадки при данных условиях задачи является y = 2x.
    Пример 3.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак
вместимостью V=16π ≈ 50 м3. Каковы должны быть размеры бака (радиус
R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество
материала?
    Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2πR(R+Н).
Мы знаем объем цилиндра V = πR2Н ⇒ Н = V/πR2 =16π/ πR2 = 16/ R2. Зна-
чит, S(R) = 2π(R2+16/R). Находим производную этой функции:
S ′(R) = 2π(2R- 16/R2) = 4π (R- 8/R2). S ′(R) = 0 при R3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

   7.4. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
   1. Неопределенность вида 0/0. Первое правило Лопиталя.
                                           f(x)       f ′(x)
   Если lim f(x) = lim g(x) = 0, то lim         = lim        , когда последний сущест-
        x→ a       x→ a             x→ a   g(x) x→a g ′(x)
вует.
   2. Неопределенность вида ∞/∞. Второе правило Лопиталя.
                                             f(x)       f ′(x)
   Если lim f(x) = lim g(x) = ∞, то lim           = lim        , когда последний суще-
        x→ a       x→ a               x→ a   g(x) x→a g ′(x)
ствует.
   3. Неопределенности вида 0⋅ ∞, ∞ - ∞, 1∞ и 00 сводятся к неопределен-
ностям 0/0 и ∞/∞ путем алгебраических преобразований.


                                                                                    69