Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 73 стр.

та, x - затраты труда, y - объем производственных фондов (обычно z и y из-
меряются в стоимостных единицах, x - в человеко-часах); A, α, β - посто-
янные. Функция Кобба-Дугласа является функцией двух независимых пе-
ременных: z = f(x, y). Частное значение функции z = f(x, y) при x = xo, y=yo
обозначается zo= f(xo, yo). Геометрически область определения функции D
представляет собой конечную или бесконечную часть плоскости, ограни-
ченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой
области. В первом случае область D называется замкнутой и обозначается
D, во втором случае - открытой. Наподобие того, как функция y = f(x)
геометрически иллюстрируется своим графиком, можно геометрически
истолковать и уравнение z = f(x, y). Возьмем в пространстве R3 прямо-
угольную систему координат и изобразим на плоскости Oxy область D. В
каждой точке M(x, y)∈D восстановим перпендикуляр к плоскости Oxy и
отложим на нем значение z = f(x, y). Геометрическое место полученных
таким образом точек и явится своего рода пространственным графиком
нашей функции. Это будет, вообще говоря, некоторая поверхность, поэто-
му уравнение z = f(x, y) называется уравнением поверхности. Пара значе-
ний x и y определяет на плоскости Oxy точку M(x, y), а z = f(x, y) - апплика-
ту соответствующей точки P(x, y, z) на поверхности. Поэтому говорят, что
z есть функция точки M(x, y) и пишут z = f(M).
    Функция f(M) имеет предел A, lim f(M) = A , если разность f(M) - A есть
                                   M→M 0

бесконечно малая, когда ρ = MoM → 0 при любом способе приближения M
к Mo (например, по любой линии).
    Функция f(x, y) называется непрерывной в точке Mo, если
 lim f(M) = f(M 0 ) .
M→ M 0

    В экономике рассматриваются функции не только от двух, но и боль-
шего числа независимых переменных. Например, уровень рентабельности
R зависит от прибыли П на реализованную продукцию, величин основных
(a) и оборотных (b) фондов, R = П/(a+b), т.е. R является функцией трех не-
зависимых переменных R = f(П, a, b). Областью определения функции трех
переменных является множество точек пространства R3, но непосредст-
венной геометрической интерпретации для функций с числом аргументов
больше двух не существует, однако для них вводятся по аналогии все оп-
ределения (частные производные, предел, непрерывность и т.д.), сформу-
лированнные для f(x,y).
    Аналогично определяется функция n независимых переменных
z = f(x1, x2,..., xn).
    Областью определения такой функции будет множество D ⊂ Rn. При-
мером функций многих переменных в экономике являются производствен-

                                                                           71