Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 74 стр.

ные функции. При рассмотрении любого производственного комплекса как
открытой системы (входами которой служат затраты ресурсов - людских и
материальных, а выходами - продукция) производственная функция вы-
ражает устойчивое количественное соотношение между входами и вы-
ходами. Производственная функция обычно задается уравнением z = f(x1,
x2,..., xn), где все компоненты выпуска объединены (по стоимости или в на-
туре) в одну скалярную величину z, а разнородные производственные ре-
сурсы обозначены как xi.
     Частной производной функции нескольких переменных по одной из
этих переменных называется производная, взятая по этой переменной при
условии, что все остальные переменные остаются постоянными. Для функ-
ции двух переменных z = f(x, y) частной производной по переменной x на-
зывается производная этой функции по x при постоянном y. Обозначается
                                                                                   ∂ z                       ∂ f(x 0 , y 0 )
частная производная по x следующим образом: z ′x ,                                     , f x′ ( x 0 , y 0 ),                 .
                                                                                   ∂ x                          ∂ x
   Аналогично частной производной функции z = f(x, y) по аргументу y
называется производная этой функции по y при постоянном x. Обозначе-
ния:
                                     ∂ z                       ∂ f(x 0 , y 0 )
                            z ′y ,       , f y′ ( x 0 , y 0 ),                 .
                                     ∂ y                          ∂ y
   Частными производными второго порядка функции z = f(x, y) называ-
ются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Если первая производная была взята, например, по аргументу x, то вторые
                                                     ∂ 2z              ∂ 2z
производные обозначаются символами z ′′x x , z ′′x ,      , z ′′x y ,        .
                                                     ∂ x2             ∂ x∂ y
                                                                     2




   Пусть функция z = f(x, y) определена в области D и точка Mo(xo, yo) бу-
дет внутренней точкой этой области. Говорят, что функция f(x, y) в точке
Mo(xo, yo) имеет максимум (минимум), если ее можно окружить такой окре-
стностью
                             (xo - δ, xo + δ; yo - ε, yo+ ε),
чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство
                         f(x,y) ≤ f(xo,yo) ( f(x,y) ≥ f(xo,yo)).
    Функция многих переменных может иметь максимум или минимум
(экстремум) только в точках, лежащих внутри области определения функ-
ции, в которой все ее частные производные первого порядка равны нулю
или не существует хотя бы одна из них. Такие точки называются критиче-
скими. Названные условия являются необходимыми условиями экстрему-
ма, но еще не достаточными (они могут выполняться и в точках, где нет

72