Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 76 стр.

нию,⎯y - теоретическое значение ординаты. Проведя прямую “на глаз”,
можно графически найти b и a=tg α, однако это будут весьма неточные ре-
зультаты. Для нахождения a, b применяют метод наименьших квадратов.
     Перепишем уравнение искомой прямой в виде ax + b -⎯y=0. Точки, по-
строенные на основе опытных данных, вообще говоря, не лежат на этой
прямой. Поэтому если подставить в уравнение прямой вместо x и⎯y задан-
ные величины xi и yi, то окажется, что левая часть уравнения
равна какой-то малой величине εi=⎯yi -yi; а именно: для первой точки
ax1 + b - y1 = ε1, для второй - ax2 + b - y2 = ε2, для последней -
axn + b - yn = εn. Величины ε1, ε2,..., εn, не равные нулю, называются погреш-
ностями. Геометрически это разность между ординатой точки на прямой и
ординатой опытной точки с той же абсциссой. Погрешности зависят от
выбранного положения прямой, т.е. от a и b. Требуется подобрать a и b та-
ким образом, чтобы эти погрешности были возможно меньшими по абсо-
лютной величине. Способ наименьших квадратов состоит в том, что a и b
выбираются из условия, чтобы сумма квадратов погрешностей u =
ε 12 + ε 22 +...+ε 2n была минимальной. Если эта сумма квадратов окажется ми-
нимальной, то и сами погрешности будут в среднем малыми по абсолют-
ной величине. Подставим в выражение для u вместо εi их значения.
     u = (ax1 + b - y1) 2 + (ax2 + b - y2) 2 +... + ( axn + b - yn)2, или u = u(a,b),
где xi, yi известные величины, a и b - неизвестные, подлежащие
определению. Выберем a и b так, чтобы u(a,b) имело наименьшее
                                                            ∂ u      ∂ u
значение. Необходимые условия экстремума                        = 0,     = 0 . Имеем:
                                                            ∂ a      ∂ b
∂ u                                               ∂ u
    = 2(ax1 + b - y1)x1 +... +2 (ax1 + b - y1)xn,     = 2(ax1 + b - y1) +... +
∂ a                                               ∂ b
+ 2 (ax1 + b - y1). Получаем систему:
                                                                  ⎧a n x 2 + b n x = n x y
                                                                      ∑
        ⎧(ax 1 + b - y 1 ) x 1 + ... + (ax n + b - y n ) x n = 0 ⎪⎪ i = 1 i
                                                                                ∑ i ∑ i i
        ⎨                                                       ⇒⎨ n
                                                                               i=1      i=1
                                                                                            .
         (
        ⎩ 1ax  + b - y 1 ) +   ... + (ax n + b - y n ) = 0                         n
                                                                  ⎪a ∑ x i + bn = ∑ y i
                                                                  ⎪⎩ i = 1        i=1


      Эта система называется нормальной системой метода наименьших
квадратов. Из нее находим a и b и затем подставляем их в эмпирическую
формулу ⎯y = ax + b. Пусть теперь точки на графике располагаются вблизи
некоторой параболы так, что между x и y можно предположить квадратич-
ную зависимость:⎯y=ax2 + bx + c, тогда ax12 + bx1 + c - y1 = ε 1 , ... ,
ax 2n + bx n + c - y n = ε n . Тогда u = ε 12 + ε 22 +...+ε 2n = (ax12 + bx1 + c - y1 ) 2 + ... +
+ (ax 2n + bx n + c - y n ) 2 . Здесь u = u(a, b, c) - функция трех независимых пере-


74