Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 75 стр.

экстремума). Чтобы критическая точка была точкой экстремума, должны
выполняться достаточные условия. Сформулируем достаточные условия
экcтремума для функции двух переменных. Пусть точка Mo(xo, yo) - крити-
ческая точка функции z = f(x, y), т.е. f x′ ( x 0 , y 0 ) = 0, f y′ (x 0 , y 0 ) = 0 , и функция
z = f(x, y) имеет непрерывные вторые частные производные в некоторой
окрестности точки Mo(xo, yo). Обозначим z ′′x x ( x 0 , y 0 ) = A, z ′′x y ( x 0 , y 0 ) = B,
 z ′′y y ( x 0 , y 0 ) = C, Δ = AC - B 2 . Тогда:
   1) если Δ > 0, то функция z имеет экстремум в точке Mo: максимум при
A < 0, минимум при A > 0;
   2) если Δ < 0, то экстремума в точке Mo нет;
   3) если Δ = 0, то требуется дополнительное исследование.
   Пример 3.28. Исследовать функцию z = y4 - 2xy2 + x2 + 2y + y2 на экс-
тремум.
   Решение. Находим частные производные: z ′x = - 2y2 + 2x, z ′y = 4y3 - 4xy
+2 +2y. Для отыскания критических точек решим систему уравнений:
⎧−2 y 2 + 2 x = 0           ⎧x - y 2 = 0               ⎧x = y 2   ⎧x = 1
⎨ 3                       ⇒ ⎨                        ⇒ ⎨        ⇒ ⎨        .
⎩4y   − 4 xy + 2 + 2y = 0   ⎩2 y(y 2
                                     − x) + 1+ y = 0   ⎩ y = -1   ⎩ y = -1
    Итак, Mo(1,-1) -единственная точка, “подозрительная на экстремум”.
Находим вторые частные производные: z ′′x x = 2, z ′′x y = −4 y, z ′′y y = 12 y 2 − 4 x + 2 ,
следовательно, A=2, B=4, С=10, Δ = 4, т.е. Δ > 0, функция имеет экстремум
в точке Mo - минимум (A>0). Вычислим z min = (-1)4 - 2⋅1⋅(-1)2 +1 - 2 +1 = -1.
    В естествознании, технике и экономике часто приходится иметь дело с
эмпирическими формулами, т.е. формулами, составленными на основе об-
работки статистических данных или результатов опытов. Одним из рас-
пространенных приемов построения таких формул является метод наи-
меньших квадратов. Изложим идею этого способа, ограничиваясь случая-
ми линейной и квадратичной зависимости. Пусть требуется установить за-
висимость между двумя величинами x и y, например, между стоимостью
потребляемого сырья и стоимостью выпущенной продукции. Произведем
обследование n видов продукции и представим результаты исследования в
виде таблицы:
                                 x    x1    x2    ...   xn
                                 y    y1    y2    ...   yn
   Из анализа таблицы нелегко обнаружить наличие и характер зависимо-
сти между x и y. Поэтому обратимся к графику. Допустим, что точки, взя-
тые из таблицы (опытные точки) группируются около некоторой прямой
линии. Тогда можно предположить,что между x и y существует линейная
зависимость⎯y= ax+b, где a и b - коэффициенты, подлежащие определе-

                                                                                             73