Составители:
Рубрика:
70
Пример 3.25. Найти предел функции y =
11
1
x
e
x
−
−
при x → 0.
Решение. Имеем неопределенность вида ∞-∞. Сначала преобразуем ее к
неопределенности вида 0/0, для чего достаточно привести дроби к общему
знаменателю. К полученному выражению два раза применим правило Ло-
питаля. Записывая последовательно все промежуточные вычисления, бу-
дем иметь:
x0
x
lim
x
e
→
−
−
()
11
1
=
x0
x
x
lim
ex
x(e
→
−−
−
1
1)
=
x0
x
x
lim
(e x)
(x(e
→
−−
′
−
′
1
1))
=
x0
x
xx
lim
e1
xe e
→
−
−+1
=
=
x0
x
xx
lim
(e 1)
(xe e
→
−
′
−+
′
1)
=
x0
x
xxx
lim
e
xeee
→
+
+
=
1
2
.
Пример 3.26. Найти
x +
lim
x
x
→∞
ln
.
Решение. Раскрывая неопределенность вида ∞/∞ по правилу Лопиталя,
получаем:
x +
lim
x
x
→∞
ln
=
x +
lim
x
x
→∞
1
12
/
/( )
=
x +
lim
2
x
→∞
=0.
Пример 3.27. Вычислить
x0
x1 / x
lim
ex)
→
+( .
Решение. Имеем неопределенность вида 1
∞
. Обозначим искомый пре-
дел через A. A =
x0
x1 / x
lim
ex)
→
+( .
Тогда ln A =
x0
x
lim
x
ex))
→
+(ln(
1
=
x0
x
lim
ex)
x
→
+ln(
=
x0
x
x
lim
e1
e+x
→
+
= 2, ⇒ A = e
2
.
7.5. Частные производные. Метод наименьших квадратов
Пусть D(x, y) - некоторое множество точек плоскости Oxy. Если каждой
упорядоченной паре чисел (x, y) из области D соответствует определенное
число z ∈ Z ⊂ R, то говорят, что z есть функция двух независимых перемен-
ных x и y. Переменные x и y называются независимыми переменными, или
аргументами, D - областью определения,
или существования, функции, а
множество Z всех значений функции - областью ее значений. Функцио-
нальную зависимость z от x и y записывают в виде z = f(x, y), z = z(x, y),
z = F(x, y) и т.д. Например, объем цилиндра V = πR
2
Н есть функция от ра-
диуса R его основания и от высоты Н, т.е. V = f(R, Н), которая дает воз-
можность, зная значения независимых переменных R и Н, установить со-
ответствующее значение для V.
В экономических исследованиях часто используется производственная
функция Кобба-Дугласа
z=Ax y
αβ
, где z - величина общественного продук-
1 1
Пример 3.25. Найти предел функции y = − при x → 0.
x e −1 x
Решение. Имеем неопределенность вида ∞-∞. Сначала преобразуем ее к
неопределенности вида 0/0, для чего достаточно привести дроби к общему
знаменателю. К полученному выражению два раза применим правило Ло-
питаля. Записывая последовательно все промежуточные вычисления, бу-
дем иметь:
1 1 ex − 1 − x (e x − 1 − x) ′ ex − 1
lim ( − x ) = lim = lim = lim =
x→ 0 x e −1 x→ 0 x(e x − 1) x→ 0 (x(e x − 1)) ′ x→0 xe x − 1 + e x
(e x − 1) ′ ex 1
= lim = lim = .
x → 0 (xe − 1 + e ) ′ x → 0 xe + e + e
x x x x x
2
ln x
Пример 3.26. Найти lim .
x→ + ∞ x
Решение. Раскрывая неопределенность вида ∞/∞ по правилу Лопиталя,
получаем:
ln x 1/ x 2
lim = lim = lim =0.
x→ + ∞ x x→ + ∞ 1 / (2 x ) x→ + ∞ x
Пример 3.27. Вычислить lim (e x + x) 1 / x .
x→ 0
Решение. Имеем неопределенность вида 1∞. Обозначим искомый пре-
дел через A. A = lim (e x + x) 1 / x .
x→ 0
1 ln(e x + x) ex + 1
Тогда ln A = lim ( ln(e + x)) = lim
x
= lim x = 2, ⇒ A = e2.
x→ 0 x x→ 0 x x→ 0 e + x
7.5. Частные производные. Метод наименьших квадратов
Пусть D(x, y) - некоторое множество точек плоскости Oxy. Если каждой
упорядоченной паре чисел (x, y) из области D соответствует определенное
число z ∈ Z ⊂ R, то говорят, что z есть функция двух независимых перемен-
ных x и y. Переменные x и y называются независимыми переменными, или
аргументами, D - областью определения, или существования, функции, а
множество Z всех значений функции - областью ее значений. Функцио-
нальную зависимость z от x и y записывают в виде z = f(x, y), z = z(x, y),
z = F(x, y) и т.д. Например, объем цилиндра V = πR2Н есть функция от ра-
диуса R его основания и от высоты Н, т.е. V = f(R, Н), которая дает воз-
можность, зная значения независимых переменных R и Н, установить со-
ответствующее значение для V.
В экономических исследованиях часто используется производственная
функция Кобба-Дугласа z = Ax α y β , где z - величина общественного продук-
70
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- …
- следующая ›
- последняя »
