Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 79 стр.

   Если функция f(z) непрерывна на [α, β], функция z=g(x) имеет на [a,b]
непрерывную производную и α ≤ g(x) ≤β, то
                                 ∫ f(g(x)) g′ (x) dx = ∫ f(z) dz,                             (8.3)
причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку
z=g(x).
   Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:
                           ∫ f(g(x)) g′ (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).
   Например:
           dx                  dx     d ln x   dz      1          1
   1) ∫      2
                 = ∫ (ln x) ′ 2 = ∫ 2 = ∫ 2 = − + C = -               +C ;
         x ln x              ln x      ln x    z       z         ln x
        cos x dx       (sin x) ′dx     d sin x     dz
   2) ∫        2
                  =∫            2
                                   =∫        2
                                               =∫        = arctg z + C = arctg(sin x) + C .
        1+ sin x       1+ sin x       1+ sin x    1+ z 2
   Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные производ-
ные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,
                       d(uv)= udv + vdu или udv = d(uv) -vdu.
    Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому име-
ет место формула:
                                     ∫ udv = uv - ∫ vdu.                                      (8.4)
    Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно при-
водит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения
vdu=vu'dx.
    Пусть, например, требуется найти ∫ x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x
dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда
      ∫ x cos x dx = ∫ x d(sin x) = x sin x - ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C.
   Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область
применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов,
например,
                ∫ xk lnmx dx, ∫ xk sin bx dx, ∫ xk cos bx dx, ∫ xk e ax dx
и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по
частям.
    Понятие определенного интеграла вводится следующим образом.
Пусть на отрезке [a, b] определена функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] на
n частей точками a = x0 < x1 <...