Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

79
f(x)dx = f(x)dx
b +
a
b
a
+
lim
→∞
∞
∫∫
. (8.7)
Если этот предел существует и конечен, то
f(x)dx
a
+
∞
∫
называется сходя-
щимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+∞), а функцию
f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+∞). В про-
тивном случае про интеграл
f(x)dx
a
+
∞
∫
говорят, что он не существует, или
расходится.
Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах
(-∞, b] и (-∞, +∞):
f(x)dx f(x)dx , f(x)dx f(x)dx f(x)dx
b
c -
-
c -
c
A
b +
A
b
c
b
lim lim lim
−∞
→∞
∞
+∞
→∞ → ∞
∫∫∫∫∫
==+
.
Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x)
непрерывна для всех значений x отрезка [a,b], кроме точки с, в которой f(x)
имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x)
в пределах от a до b называется сумма:
λ
λ
μ
μ
0
a
c -
0
c +
b
lim lim
f(x)dx f(x)dx
→→
∫∫
+ ,
если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:
f(x)dx
a
b
∫
=
λ
λ
μ
μ
0
a
c -
0
c +
b
lim lim
f(x)dx f(x)dx
→→
∫∫
+ . (8.8)
Пример 3.30. Вычислить ∫ dx/(x+2).
Решение. Обозначим t=x+2, тогда dx=dt, ∫ dx/(x+2) = ∫ dt/t = ln⎪t⎪+C =
= ln⎪x+2⎪+C.
Пример 3.31. Найти ∫ tg x dx.
Решение. ∫ tg x dx = ∫ sin x/cos x dx = - ∫ d(cos x)/ cos x. Пусть t=cos x, то-
гда ∫ tg x dx = - ∫ dt/t = - ln⎪t⎪+C = - ln⎪cos x⎪+C.
Пример 3.32. Найти ∫ dx/sin x.
Решение.
dx
x
xx
xx
dx tg
x
dx ctg
x
dx
xx
ctg
x
c
sin
sin cos
sin cos
ln cos ln sin ln
=
+
=+ =−++=+
∫∫∫∫
22
22
2
22
1
22
1
22 2 2 2
Пример 3.33. Найти
dx
x
a
22
−
∫
. 
                                               +∞                            b
                                               ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx .                                   (8.7)
                                               a                      b → +∞ a

                                                                                         +∞
    Если этот предел существует и конечен, то ∫ f(x)dx называется сходя-
                                                                                            a

щимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+∞), а функцию
f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+∞). В про-
                                                +∞
тивном случае про интеграл ∫ f(x)dx говорят, что он не существует, или
                                                    a

расходится.
    Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах
(-∞, b] и (-∞, +∞):
                b                   b                      +∞                       A                 b
                ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx ,                  ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx + lim ∫ f(x)dx .
               −∞         c →- ∞ c                         -∞               c → -∞ c            b → +∞ A


    Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x)
непрерывна для всех значений x отрезка [a,b], кроме точки с, в которой f(x)
имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x)
в пределах от a до b называется сумма:
                                               c-λ                           b
                                        lim ∫ f(x)dx + lim ∫ f(x)dx ,
                                        λ →0    a                     μ →0 c + μ


если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:
                                b                               c-λ                     b
                                ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx + lim ∫ f(x)dx .                                   (8.8)
                                a                       λ →0     a               μ →0 c + μ


    Пример 3.30. Вычислить ∫ dx/(x+2).
    Решение. Обозначим t=x+2, тогда dx=dt, ∫ dx/(x+2) = ∫ dt/t = ln⎪t⎪+C =
= ln⎪x+2⎪+C.
    Пример 3.31. Найти ∫ tg x dx.
    Решение. ∫ tg x dx = ∫ sin x/cos x dx = - ∫ d(cos x)/ cos x. Пусть t=cos x, то-
гда ∫ tg x dx = - ∫ dt/t = - ln⎪t⎪+C = - ln⎪cos x⎪+C.
    Пример 3.32. Найти ∫ dx/sin x.
    Решение.
                   x         x
             sin 2   + cos 2
   dx              2         2 dx = 1 tg x dx + 1 ctg x dx = − ln cos x + ln sin x + c = ln tg x + c
∫       =∫                            ∫           ∫
  sin x              x     x        2    2      2     2               2          2             2
               2 sin cos
                     2     2
                                          dx
    Пример 3.33. Найти ∫                       .
                                        x − a2
                                          2




                                                                                                              79

Страницы