Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

80
Решение.
dx
x
a
22
−
∫
=
1
2
11 1
2
1
2a
x
a
x
a
dx
a
dx
x
aa
dx
x
a
()
−
−
+
=
−
−
+
=
∫∫∫
=−−++=
−
+
+
1
2
1
2a
xa xa c
a
xa
xa
c(ln ln ) ln
Пример 3.34. Найти ∫ arctg x dx.
Решение. Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x
2
+1), v=x, откуда
∫ arctg x dx = x arctg x - ∫ x dx/(x
2
+1) = x arctg x + 1/2 ln(x
2
+1) +C; так как
∫ x dx/(x
2
+1) = 1/2 ∫ d(x
2
+1)/(x
2
+1) = 1/2 ln(x
2
+1) +C.
Пример 3.35. Вычислить ∫ ln x dx.
Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=ln x, dv=dx, du= 1/x dx, v=x. Тогда ∫ ln x dx = x lnx - ∫ x 1/x dx =
= x lnx - ∫ dx = x lnx - x + C.
Пример 3.36. Вычислить ∫ e
x
sin x dx.
Решение. Обозначим u = e
x
, dv = sin x dx, тогда du = e
x
dx, v=∫ sin x dx= -
cos x ⇒ ∫ e
x
sin x dx = - e
x
cos x + ∫ e
x
cos x dx. Интеграл ∫ e
x
cos x dx также
интегрируем по частям: u = e
x
, dv = cos x dx ⇒ du=e
x
dx, v=sin x. Имеем:
∫ e
x
cos x dx = e
x
sin x - ∫ e
x
sin x dx. Получили соотношение ∫ e
x
sin x dx = - e
x
cos x + e
x
sin x - ∫ e
x
sin x dx, откуда 2 ∫ e
x
sin x dx = - e
x
cos x + e
x
sin x + С.
Пример 3.37. Вычислить J = ∫ cos(ln x)dx/x.
Решение. Так как dx/x = d(ln x), то J= ∫ cos(ln x)d(ln x). Заменяя ln x че-
рез t, приходим к табличному интегралу J = ∫ cos t dt = sin t + C = sin(ln x) +
C.
Пример 3.38. Вычислить J =
dx
xx4
2
−
∫
ln
.
Решение. Учитывая, что
dx
x
= d(ln x), производим подстановку ln x = t.
Тогда J =
dt
t
t
c
x
c
4
22
2
−
=+= +
∫
arcsin arcsin
ln
.
Пример 3.39. Вычислить интеграл J =
1 - cos 2xdx
0
100
π
∫
.
Решение. Имеем:
12−=cos 2x sin x . Поэтому
1 - cos 2xdx
0
100
π
∫
=
=
22
0
100
0
sin x dx sin x dx - sin x dx + sin x dx - sin x dx + ... + sin x dx) =
99
100
3
4
2
32
π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
∫∫∫∫∫∫
= (
=
2222( +++ ... + 2) = 200 2
.
Пример 3.40. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к ин-
тегралу
dx
(x - 4)
4
0
5
∫
? 
                                    dx                 1     1   1          1   dx    1   dx
      Решение.                ∫
                                  x − a2
                                      2
                                                =        ∫ (   −
                                                      2a x − a x + a
                                                                     )dx =    ∫     −   ∫
                                                                           2 a x − a 2a x + a
                                                                                              =

      1                               1    x−a
=       (ln x − a − ln x + a ) + c =    ln     +c
     2a                              2a x + a
     Пример 3.34. Найти ∫ arctg x dx.
     Решение. Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x2+1), v=x, откуда
∫ arctg x dx = x arctg x - ∫ x dx/(x2+1) = x arctg x + 1/2 ln(x2+1) +C; так как
∫ x dx/(x2+1) = 1/2 ∫ d(x2+1)/(x2+1) = 1/2 ln(x2+1) +C.
     Пример 3.35. Вычислить ∫ ln x dx.
     Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=ln x, dv=dx, du= 1/x dx, v=x. Тогда ∫ ln x dx = x lnx - ∫ x 1/x dx =
= x lnx - ∫ dx = x lnx - x + C.
     Пример 3.36. Вычислить ∫ ex sin x dx.
     Решение. Обозначим u = ex, dv = sin x dx, тогда du = ex dx, v=∫ sin x dx= -
cos x ⇒ ∫ ex sin x dx = - ex cos x + ∫ ex cos x dx. Интеграл ∫ ex cos x dx также
интегрируем по частям: u = ex, dv = cos x dx ⇒ du=exdx, v=sin x. Имеем:
∫ ex cos x dx = ex sin x - ∫ ex sin x dx. Получили соотношение ∫ ex sin x dx = - ex
cos x + ex sin x - ∫ ex sin x dx, откуда 2 ∫ ex sin x dx = - ex cos x + ex sin x + С.
     Пример 3.37. Вычислить J = ∫ cos(ln x)dx/x.
     Решение. Так как dx/x = d(ln x), то J= ∫ cos(ln x)d(ln x). Заменяя ln x че-
рез t, приходим к табличному интегралу J = ∫ cos t dt = sin t + C = sin(ln x) +
C.
                                                           dx
      Пример 3.38. Вычислить J = ∫                                     .
                                                    x 4 − ln 2 x
                                           dx
      Решение. Учитывая, что                   = d(ln x), производим подстановку ln x = t.
                                            x
                     dt               t             ln x
Тогда J = ∫                   = arcsin + c = arcsin      +c.
                    4 − t2            2              2
                                                                100π
      Пример 3.39. Вычислить интеграл J = ∫                                 1 - cos 2xdx .
                                                                   0
                                                                                  100π
      Решение. Имеем: 1 − cos 2x = 2 sin x . Поэтому ∫                                   1 - cos 2xdx =
                                                                                   0
       100π                       π        2π         3π                   4π                100π
= 2 ∫ sin x dx = 2 ( ∫ sin x dx - ∫ sin x dx + ∫ sin x dx - ∫ sin x dx + ... + ∫ sin x dx) =
        0                         0        π          2π                   3π                99 π

= 2 (2 + 2 + 2 + ... + 2) = 200 2 .
   Пример 3.40. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к ин-
              5
                   dx
тегралу ∫               4
                          ?
              0 (x - 4)




80

Страницы