Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

82
Пример 3.43. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три
дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.
Решение. Имеем:
V =
()( )25
2
2
5 9 15 24
2
0
3
0
3
tdt
t
t+= + =+=
∫
.
Пример 3.44. Пусть сила роста (см.6.1) описывается некоторой непре-
рывной функцией времени δ
t
= f(t), тогда наращенная сумма находится как
S = P exр
0
n
∫
δ
t
dt,
а современная величина платежа P = S exр(-
0
n
∫
δ
t
dt).
Если, в чаcтности, δ
t
является линейной функцией времени:
δ
t
= δ
o
+ at, где δ
o
- величина силы роста для t = 0, a - годовой прирост, то
0
n
∫
δ
t
dt =
0
n
∫
(δ
o
+ at)dt = δ
o
n + an
2
/2;
множитель наращения exр(δ
o
n + an
2
/2). Если сила роста изменяется по
геометрической прогрессии δ
t
= δ
o
a
t
, где δ
o
- начальное значение про-
центной ставки, a - годовой коэффициент роста, тогда
0
n
∫
δ
t
dt =
0
n
∫
δ
o
a
t
dt = δ
o
a
t
/lna
0
n
= δ
o
(a
n
-1)/lna;
множитель наращения exр(δ
o
(a
n
-1) / lna).
Предположим, что начальный уровень силы роста равен 8%, процент-
ная ставка ежегодно увеличивается на 20% (a=1,2), срок ссуды 5 лет. Мно-
житель наращения в этом случае составит exр (0,08 (1,2
5
-1) / ln1,2) ≈
≈ exр 0,653953 ≈ 1,921397.
Пример 3.45. Выше при анализе непрерывных потоков платежей пред-
полагалось, что годовая сумма ренты R равномерно распределяется на
протяжении года. На практике, особенно в инвестиционных процессах,
этот поток может существенно изменяться во времени, следуя какому-либо
закону. Если этот поток непрерывен и описывается некоторой функцией
R
t
= f (t), то общая сумма поступлений за время n равна ftdt
n
()
0
∫
.
В этом случае наращенная по непрерывной ставке за период от 0 до n
сумма составит:
S =
f(t)e dt
(n - t)
n
δ
0
∫
.
Современная величина такого потока равна 
   Пример 3.43. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три
дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.
   Решение. Имеем:
                          3
                                                 2t 2          3
                     V = ∫ (2t + 5)dt = (             + 5t )       = 9 + 15 = 24 .
                          0                       2            0


   Пример 3.44. Пусть сила роста (см.6.1) описывается некоторой непре-
рывной функцией времени δ t = f(t), тогда наращенная сумма находится как
                                                       n
                                  S = P exр ∫ δ t dt,
                                                       0

                                                                   n
а современная величина платежа P = S exр(- ∫ δ t dt).
                                                                   0

     Если, в чаcтности, δ t является линейной функцией времени:
δ t = δ o + at, где δ o - величина силы роста для t = 0, a - годовой прирост, то
                     n            n
                                                           2
                     ∫ δ t dt = ∫ (δ o + at)dt = δ o n + an /2;
                     0            0


множитель наращения exр(δ o n + an2/2). Если сила роста изменяется по
геометрической прогрессии δ t = δ o at, где δ o - начальное значение про-
центной ставки, a - годовой коэффициент роста, тогда
                n             n
                                  t          t
                                                                           = δ o(an -1)/lna;
                                                                       n
                ∫ δ t dt = ∫ δ o a dt = δ o a /lna                     0
                0             0


множитель наращения exр(δ o(an -1) / lna).
    Предположим, что начальный уровень силы роста равен 8%, процент-
ная ставка ежегодно увеличивается на 20% (a=1,2), срок ссуды 5 лет. Мно-
житель наращения в этом случае составит exр (0,08 (1,25-1) / ln1,2) ≈
≈ exр 0,653953 ≈ 1,921397.
    Пример 3.45. Выше при анализе непрерывных потоков платежей пред-
полагалось, что годовая сумма ренты R равномерно распределяется на
протяжении года. На практике, особенно в инвестиционных процессах,
этот поток может существенно изменяться во времени, следуя какому-либо
закону. Если этот поток непрерывен и описывается некоторой функцией
                                                                                      n
R t = f (t), то общая сумма поступлений за время n равна ∫ f ( t )dt .
                                                                                      0

   В этом случае наращенная по непрерывной ставке за период от 0 до n
сумма составит:
                                             n
                                      S = ∫ f(t)e δ (n - t) dt .
                                             0


     Современная величина такого потока равна

82

Страницы