Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 86 стр.

щей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого диффе-
ренциального уравнения.
   Например:
                y′ - x2y + x3 = 0 - уравнение первого порядка,
                y′′ + 4y′ + cos x = 0 - уравнение второго порядка,
                x y(5) + yy′′′ = 1 - уравнение пятого порядка и т. д.
   Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному урав-
нению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференци-
альное уравнение - это значит найти все его решения. Если для искомой
функции y нам удалось получить формулу, дающую все решения данного
дифференциального уравнения и только их, то мы говорим, что нашли его
общее решение, или общий интеграл.
   Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит
n произвольных постоянных с1, с2,..., cn и имеет вид
                              y = ϕ(x, с1, с2,..., cn).
   Если соотношение, связывающее x, y и n произвольных постоянных,
получено в виде, не разрешенном относительно y -
                            Ф(x, y, с1, с2,..., cn) = 0,
то будем называть такое соотношение общим интегралом уравнения (9.1).
    В противовес общему решению каждое конкретное решение, т. е. каж-
дая конкретная функция, удовлетворяющая данному дифференциальному
уравнению и не зависящая от произвольных постоянных, называется ча-
стным решением, или частным интегралом. Частные решения (интегра-
лы) получаются из общего, когда постоянным с1, с2,..., cn придают конкрет-
ные числовые значения.
    График каждого частного решения называется интегральной кривой.
Поэтому общее решение, содержащее все частные решения, представляет
собой семейство интегральных кривых. В случае уравнения первого по-
рядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной, в случае
уравнения n-го порядка - от n произвольных постоянных.
    В задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение
для уравнения n-го порядка, удовлетворяющее n начальным условиям:
                 y(xo) = yo, y′(xo) = yo′,..., y(n-1)(xo) = yo(n-1),
по которым определяются n постоянных с1, с2,..., cn. Дифференциальное
уравнение 1-го порядка имеет общий вид
                                 F(x, y, y′) = 0,
или вид, разрешенный относительно y′:

84