Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

86
неизвестная функция, x - независимая переменная, r - постоянная. Для ре-
шения данного уравнения перепишем его следующим образом:
dY
Y
rdx d lnY rdx d lnY r dx lnY rx + C,
x
x
xxx
=⇒ =⇒ = ⇒ =
∫∫
откуда Y
x
=
e
r x+C
, или Y
x
= P
e
r x,
где через P обозначено e
C
.
Учитывая начальное условие Y(0) = Y
o
, найдем P: Y
o
= Pe
o
, следова-
тельно, Y
o
= P. Решение имеет вид:
Y
x
=Y
o
e
r x
.
Рассмотрим еще одну экономическую задачу. Простейшие макроэко-
номические модели также приводят к линейным дифференциальным урав-
нениям 1-го порядка, описывающим изменение дохода или выпуска про-
дукции Y как функций времени.
Пример 3.48. Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью,
пропорциональной его величине:
dY
dt
kY
= ,
и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорцио-
нален доходу Y (при коэффициенте пропорциональности q). Дефицит в
расходах приводит к возрастанию национального долга D:
dD/dt = qY.
Здесь мы считаем переменные Y и D непрерывными и дифференци-
руемыми функциями времени t. Пусть начальные условия имеют вид
Y = Y
o
и D = D
o
при t = 0. Из первого уравнения мы получаем, учитывая
начальные условия, Y= Y
o
e
k t
. Подставляя Y во второе уравнение, получа-
ем dD/dt = qY
o
e
k t.
Общее решение этого уравнения имеет вид
D = (q/ k) Y
o
e
k t
+С, где С = const, которую мы определим из начальных
условий. Подставляя начальные условия в полученное решение, мы полу-
чаем D
o
= (q/ k)Y
o
+ С. Итак, окончательно,
D = D
o
+(q/ k)Y
o
(e
k t
-1),
то есть, национальный долг возрастает с той же относительной скоростью
k, что и национальный доход.
Простейшим дифференциальным уравнением n-го порядка является
уравнение
y
(n)
= f(x).
Его общее решение можно получить с помощью n интегрирований.
Пример 3.49. Решить уравнение y′′′ = cos x. 
неизвестная функция, x - независимая переменная, r - постоянная. Для ре-
шения данного уравнения перепишем его следующим образом:
        dYx
            = rdx ⇒ d lnYx = rdx ⇒ ∫ d lnYx = ∫ r dx ⇒   lnYx = rx + C,
         Yx

откуда Yx = e r x+C, или Yx = P e r x, где через P обозначено eC.
   Учитывая начальное условие Y(0) = Yo, найдем P: Yo = Peo, следова-
тельно, Yo = P. Решение имеет вид:
                                Yx =Yo e r x.
   Рассмотрим еще одну экономическую задачу. Простейшие макроэко-
номические модели также приводят к линейным дифференциальным урав-
нениям 1-го порядка, описывающим изменение дохода или выпуска про-
дукции Y как функций времени.
   Пример 3.48. Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью,
пропорциональной его величине:
                                  dY
                                     = kY ,
                                  dt
и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорцио-
нален доходу Y (при коэффициенте пропорциональности q). Дефицит в
расходах приводит к возрастанию национального долга D:
                                dD/dt = qY.
   Здесь мы считаем переменные Y и D непрерывными и дифференци-
руемыми функциями времени t. Пусть начальные условия имеют вид
Y = Yo и D = Do при t = 0. Из первого уравнения мы получаем, учитывая
начальные условия, Y= Yo e k t. Подставляя Y во второе уравнение, получа-
ем dD/dt = qYo e k t. Общее решение этого уравнения имеет вид
D = (q/ k) Yo e k t +С, где С = const, которую мы определим из начальных
условий. Подставляя начальные условия в полученное решение, мы полу-
чаем Do = (q/ k)Yo + С. Итак, окончательно,
                         D = Do+(q/ k)Yo (e k t -1),
то есть, национальный долг возрастает с той же относительной скоростью
k, что и национальный доход.
    Простейшим дифференциальным уравнением n-го порядка является
уравнение
                                 y(n) = f(x).
Его общее решение можно получить с помощью n интегрирований.
   Пример 3.49. Решить уравнение y′′′ = cos x.

86

Страницы