Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

87
Решение. Интегрируя, находим
y′′ = ∫ cos x dx = sin x + C
1,
y′ = ∫ (sin x + C
1
)dx = - cos x + C
1
x + С
2,
y = ∫ (- cos x + C
1
x +C
2
)dx = - sin x + C
1
x
2
/2 +C
2
x+C
3
.
Итак, общее решение
y = - sin x + C
1
x
2
/2 +C
2
x+C
3
.
В математической экономике большое применение находят линейные
дифференциальные уравнения, и поэтому мы рассмотрим решение таких
уравнений. Дифференциальное уравнение (9.1) называется линейным, если
имеет вид:
р
o
(x)y
(n)
(x) + р
1
(x)y
(n- 1)
(x) +... + р
n - 1
(x)y′(x) + р
n
(x)y(x) = f(x), (9.2)
где р
o
(x), р
1
(x),..., р
n
(x), f(x) - данные функции. Если f(x) ≡ 0, то уравнение
(9.2) называется однородным, в противном случае - неоднородным. Общее
решение уравнения (9.2) есть сумма какого-либо его частного решения y(x)
и общего решения соответствующего однородного уравнения:
р
o
(x)y
(n)
(x) + р
1
(x)y
(n- 1)
(x) +... + р
n - 1
(x)y′(x) + р
n
(x)y(x) = 0. (9.3)
Если коэффициенты р
o
(x), р
1
(x),..., р
n
(x) постоянные, то уравнение (9.2)
принимает вид:
р
o
y
(n)
(x) + р
1
y
(n- 1)
(x) +... + р
n - 1
y′(x) + р
n
y(x) = f(x) (9.4)
и называется линейным дифференциальным уравнением порядка n с по-
стоянными коэффициентами.
Соответствующее уравнению (9.4) однородное уравнение выглядит
так:
р
o
y
(n)
(x) + р
1
y
(n- 1)
(x) +... + р
n - 1
y′(x) + р
n
y(x) = 0. (9.5)
Без ограничения общности можно положить р
o
= 1 и записать уравне-
ние (9.5) в виде
y
(n)
(x) + р
1
y
(n- 1)
(x) +... + р
n - 1
y′(x) + р
n
y(x) = 0. (9.6)
Решение уравнения (9.6) будем искать в виде y = e
kx
, где k - постоян-
ная. Имеем: y′ = ke
kx,
y′′ = k
2
e
kx,
..., y
(n)
= k
n
e
kx
.
Подставляя полученные
выражения в (9.6), будем иметь:
e
kx
(k
n
+ р
1
k
n-1
+... + р
n-1
k + р
n
) = 0.
Т.к. e
kx
≠ 0, то
k
n
+ р
1
k
n-1
+... + р
n-1
k + р
n
= 0. (9.7) 
    Решение. Интегрируя, находим
                 y′′ = ∫ cos x dx = sin x + C1,
                 y′ = ∫ (sin x + C1)dx = - cos x + C1x + С2,
                 y = ∫ (- cos x + C1x +C2)dx = - sin x + C1x2/2 +C2x+C3.
    Итак, общее решение
                            y = - sin x + C1x2/2 +C2x+C3.
   В математической экономике большое применение находят линейные
дифференциальные уравнения, и поэтому мы рассмотрим решение таких
уравнений. Дифференциальное уравнение (9.1) называется линейным, если
имеет вид:
           рo(x)y(n)(x) + р1(x)y(n- 1)(x) +... + рn - 1(x)y′(x) + рn(x)y(x) = f(x), (9.2)
где рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - данные функции. Если f(x) ≡ 0, то уравнение
(9.2) называется однородным, в противном случае - неоднородным. Общее
решение уравнения (9.2) есть сумма какого-либо его частного решения y(x)
и общего решения соответствующего однородного уравнения:
              рo(x)y(n)(x) + р1(x)y(n- 1)(x) +... + рn - 1(x)y′(x) + рn(x)y(x) = 0. (9.3)
   Если коэффициенты рo(x), р1(x),..., рn(x) постоянные, то уравнение (9.2)
принимает вид:
                    рoy(n)(x) + р1y(n- 1)(x) +... + рn - 1y′(x) + рny(x) = f(x)    (9.4)
и называется линейным дифференциальным уравнением порядка n с по-
стоянными коэффициентами.
    Соответствующее уравнению (9.4) однородное уравнение выглядит
так:
                      рoy(n)(x) + р1y(n- 1)(x) +... + рn - 1y′(x) + рny(x) = 0.    (9.5)
   Без ограничения общности можно положить рo = 1 и записать уравне-
ние (9.5) в виде
                        y(n)(x) + р1y(n- 1)(x) +... + рn - 1y′(x) + рny(x) = 0.    (9.6)
   Решение уравнения (9.6) будем искать в виде y = e kx, где k - постоян-
ная. Имеем: y′ = ke kx, y′′ = k2 e kx,..., y(n) = kn e kx. Подставляя полученные
выражения в (9.6), будем иметь:
                        e kx (kn + р1kn-1 +... + рn-1k + рn) = 0.
Т.к. e kx ≠ 0, то
                            kn + р1kn-1 +... + рn-1k + рn = 0.                     (9.7)



                                                                                       87

Страницы