Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

89
Решение. Имеем следующее уравнение для нахождения k: k
2
+9 = 0, от-
куда k = ±3i, ⇒ α = 0, β = 3, значит, общее решение имеет вид:
y = c
1
cos 3x + c
2
sin 3x.
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка находят приме-
нение при изучении, например, экономической модели паутинообразного
типа с запасами товаров, в которой скорость изменения цены P зависит от
величины запаса (см. о паутинообразной модели в параграфе 10). Если
спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть
D = α +aP, S =β+bP,
а λ есть постоянная, определяющая
скорость реакции (то есть изменения
цены при изменении запасов товара), то процесс изменения цены описыва-
ется дифференциальным уравнением:
dP
dt
2
2
+ λ (b - a) P = λ (α - β).
В качестве частного решения можно взять постоянную
P =⎯P = (α - β)/(b - a),
имеющую смысл цены равновесия. Отклонение р = P -⎯P удовлетворяет
тогда однородному уравнению
dp
dt
2
2
+ λ (b - a) р = 0. (9.10)
Найдем общее решение этого уравнения. Характеристическое уравне-
ние, в котором неизвестная обозначена через k, будет следующее:
k
2
+ λ (b - a) = 0.
В обычном случае (a<0, b>0, λ>0) член λ (b - a) положителен. Введем
обозначение ω =
λ
(b - a)
. Тогда корни характеристического уравнения бу-
дут k
1,2
= ± i ω. Следовательно, общее решение уравнения (9.10) имеет вид:
р = C cos (ωt-ε),
где C и ε представляют собой произвольные постоянные, которые опреде-
ляются единственным образом, если заданы начальные условия. Следова-
тельно, присоединив ⎯P, получим закон изменения цены во времени:
P = ⎯P+ C cos (ωt-ε).
10. Разностные уравнения 
   Решение. Имеем следующее уравнение для нахождения k: k2+9 = 0, от-
куда k = ±3i, ⇒ α = 0, β = 3, значит, общее решение имеет вид:
                          y = c1 cos 3x + c2 sin 3x.
   Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка находят приме-
нение при изучении, например, экономической модели паутинообразного
типа с запасами товаров, в которой скорость изменения цены P зависит от
величины запаса (см. о паутинообразной модели в параграфе 10). Если
спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть
                              D = α +aP, S =β+bP,
а λ есть постоянная, определяющая скорость реакции (то есть изменения
цены при изменении запасов товара), то процесс изменения цены описыва-
ется дифференциальным уравнением:
                       d2P
                                + λ (b - a) P = λ (α - β).
                       dt 2
   В качестве частного решения можно взять постоянную
                          P =⎯P = (α - β)/(b - a),
имеющую смысл цены равновесия. Отклонение р = P -⎯P удовлетворяет
тогда однородному уравнению
                              d2p
                                     + λ (b - a) р = 0.              (9.10)
                              dt 2
   Найдем общее решение этого уравнения. Характеристическое уравне-
ние, в котором неизвестная обозначена через k, будет следующее:
                                k2 + λ (b - a) = 0.
   В обычном случае (a<0, b>0, λ>0) член λ (b - a) положителен. Введем
обозначение ω = λ (b - a) . Тогда корни характеристического уравнения бу-
дут k 1,2 = ± i ω. Следовательно, общее решение уравнения (9.10) имеет вид:
                                р = C cos (ωt-ε),
где C и ε представляют собой произвольные постоянные, которые опреде-
ляются единственным образом, если заданы начальные условия. Следова-
тельно, присоединив ⎯P, получим закон изменения цены во времени:
                              P = ⎯P+ C cos (ωt-ε).

   10. Разностные уравнения


                                                                         89

Страницы