Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

88
Равенство (9.7) есть алгебраическое уравнение с неизвестным k. Оно
называется характеристическим уравнением для дифференциального урав-
нения (9.6). Характеристическое уравнение есть уравнение n-й степени,
следовательно, оно имеет n корней, среди которых могут быть кратные и
комплексные. Если k
1
, k
2
,..., k
n
- действительные и различные корни урав-
нения (9.7), то
e e ... , e
k x k x k x
12 n
,, - частные решения уравнения (9.7), а общее
имеет вид
y =
cc c
1
kx
2
k x
n
kx
12 n
ee e+++... .
Рассмотрим подробно линейное однородное дифференциальное урав-
нение второго порядка с постоянными коэффициентами:
y′′ + рy′ +qy = 0. (9.8)
Его характеристическое уравнение имеет вид
k
2
+ рk + q=0 (9.9)
и в зависимости от значения дискриминанта D = р
2
- 4q возможны три слу-
чая.
1. Если D>0, то корни k
1
и k
2
уравнения (9.9) действительны и различ-
ны, тогда общее решение имеет вид:
y = c
1
exр(k
1
x) + c
2
exр(k
2
x).
2. Если D = 0, т.е. корни k
1
и k
2
действительные и равные, то общее ре-
шение находится по формуле:
y = (c
1
+ c
2
x) exр (k
1
x).
3. Если D<0, то корни комплексные, k
1
= α + βi, k
2
= α - βi, где i - мни-
мая единица. Тогда общее решение таково:
y = (c
1
cos βx+c
2
sin βx) exр (αx).
Пример 3.50. Решить уравнение y′′ - y = 0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k
2
- 1 = 0, корни ко-
торого k
1
= 1, k
2
= -1 действительны и различны. Общее решение:
y = c
1
e
x
+ c
2
e
-x
.
Пример 3.51. Найти общее решение уравнения y′′- 4y′ + 4y = 0.
Решение. Характеристическое уравнение запишется в виде:
k
2
-4k +4 = 0 или (k - 2)
2
= 0, т.е. имеет равные корни k
1
= k
2
=2, значит, об-
щее решение данного уравнения находится по формуле:
y = e
2x
(c
1
+c
2
x).
Пример 3.52. Найти общее решение уравнения y′′+9y = 0. 
   Равенство (9.7) есть алгебраическое уравнение с неизвестным k. Оно
называется характеристическим уравнением для дифференциального урав-
нения (9.6). Характеристическое уравнение есть уравнение n-й степени,
следовательно, оно имеет n корней, среди которых могут быть кратные и
комплексные. Если k1, k2,..., kn - действительные и различные корни урав-
нения (9.7), то e k x , e k x , ... , e k x - частные решения уравнения (9.7), а общее
                   1    2            n



имеет вид
                            y = c1e k x + c 2 e k x + ... + c n e k x .
                                         1         2               n




   Рассмотрим подробно линейное однородное дифференциальное урав-
нение второго порядка с постоянными коэффициентами:
                                     y′′ + рy′ +qy = 0.                         (9.8)
     Его характеристическое уравнение имеет вид
                                             k2 + рk + q=0                      (9.9)
и в зависимости от значения дискриминанта D = р2 - 4q возможны три слу-
чая.
    1. Если D>0, то корни k1 и k2 уравнения (9.9) действительны и различ-
ны, тогда общее решение имеет вид:
                            y = c1 exр(k1x) + c2 exр(k2x).
   2. Если D = 0, т.е. корни k1 и k2 действительные и равные, то общее ре-
шение находится по формуле:
                                y = (c1 + c2x) exр (k1x).
   3. Если D<0, то корни комплексные, k1 = α + βi, k2 = α - βi, где i - мни-
мая единица. Тогда общее решение таково:
                        y = (c1 cos βx+c2 sin βx) exр (αx).
   Пример 3.50. Решить уравнение y′′ - y = 0.
   Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k2 - 1 = 0, корни ко-
торого k1 = 1, k2 = -1 действительны и различны. Общее решение:
                                     y = c1e x + c2e -x.
   Пример 3.51. Найти общее решение уравнения y′′- 4y′ + 4y = 0.
   Решение. Характеристическое уравнение запишется в виде:
k -4k +4 = 0 или (k - 2)2 = 0, т.е. имеет равные корни k1= k2 =2, значит, об-
 2

щее решение данного уравнения находится по формуле:
                                         y = e2x(c1+c2x).
     Пример 3.52. Найти общее решение уравнения y′′+9y = 0.

88

Страницы