Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

90
На практике простейшие разностные уравнения возникают при иссле-
довании например величины банковского вклада. Эта величина является
переменной Y
x,
представляющей сумму, которая накапливается по уста-
новленному закону при целочисленных значениях аргумента x. Пусть сум-
ма Y
o
положена в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в
год. Пусть начисление процентов производится один раз в год и x обозна-
чает число лет с момента помещения вклада (x = 0, 1, 2,...). Обозначим ве-
личину вклада по истечении x лет через Y
x.
Мы получаем
Y
x
= (1+r)Y
x-1.
Если начальная сумма составляет Y
o,
мы приходим к задаче отыскания
решения полученного разностного уравнения, подчиненного начальному
условию Y
x
= Y
o
при x = 0. Полученное разностное уравнение содержит Y
x
и значение этой переменной на один год раньше, т.е. Y
x-1;
в данном случае
аргумент x явно не входит в разностное уравнение.
Вообще говоря, обыкновенное разностное уравнение устанавливает
связь между значениями функции Y = Y(x), рассматриваемой для ряда рав-
ноотстоящих значений аргумента x, но можно без ограничения общности
считать, что искомая функция определена для равноотстоящих значений
аргумента с шагом, равным единице. Таким образом, если
начальное зна-
чение аргумента есть x, то ряд его равноотстоящих значений будет x, x+1,
x+2,... и в обратном направлении: x, x-1, x-2,.... Соответствующие значения
функции будем обозначать Y
x,
Y
x+1,
Y
x+2,
... или Y
x,
Y
x-1,
Y
x-2,
.... Определим
так называемые разности различных порядков функции Y
x
с помощью
следующих формул:
Разности первого порядка
Δ Y
x
= Y
x+1
- Y
x,
Δ Y
x+1
=Y
x+2
- Y
x+1,
ΔY
x+2
= Y
x+3
- Y
x+2,
... ... ... ... ...
Разности второго порядка
Δ
2
Y
x
= ΔY
x+1
- Δ Y
x
,
Δ
2
Y
x+1
= Δ Y
x+2
- ΔY
x+1
,
Δ
2
Y
x+2
= Δ Y
x+3
- ΔY
x+2
,
... ... ... ... ...
Разности третьего порядка
Δ
3
Y
x
= Δ
2
Y
x+1
- Δ
2
Y
x
,
Δ
3
Y
x+1
= Δ
2
Y
x+2
- Δ
2
Y
x+1
, 
   На практике простейшие разностные уравнения возникают при иссле-
довании например величины банковского вклада. Эта величина является
переменной Yx, представляющей сумму, которая накапливается по уста-
новленному закону при целочисленных значениях аргумента x. Пусть сум-
ма Yo положена в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в
год. Пусть начисление процентов производится один раз в год и x обозна-
чает число лет с момента помещения вклада (x = 0, 1, 2,...). Обозначим ве-
личину вклада по истечении x лет через Yx. Мы получаем
                              Yx = (1+r)Yx-1.
    Если начальная сумма составляет Yo, мы приходим к задаче отыскания
решения полученного разностного уравнения, подчиненного начальному
условию Yx = Yo при x = 0. Полученное разностное уравнение содержит Yx
и значение этой переменной на один год раньше, т.е. Yx-1; в данном случае
аргумент x явно не входит в разностное уравнение.
    Вообще говоря, обыкновенное разностное уравнение устанавливает
связь между значениями функции Y = Y(x), рассматриваемой для ряда рав-
ноотстоящих значений аргумента x, но можно без ограничения общности
считать, что искомая функция определена для равноотстоящих значений
аргумента с шагом, равным единице. Таким образом, если начальное зна-
чение аргумента есть x, то ряд его равноотстоящих значений будет x, x+1,
x+2,... и в обратном направлении: x, x-1, x-2,.... Соответствующие значения
функции будем обозначать Yx,Yx+1,Yx+2,... или Yx, Yx-1, Yx-2,.... Определим
так называемые разности различных порядков функции Yx с помощью
следующих формул:
                        Разности первого порядка
                            Δ Yx = Yx+1 - Yx,
                            Δ Yx+1 =Yx+2 - Yx+1,
                            ΔYx+2 = Yx+3 - Yx+2,
                            ... ... ... ... ...
                        Разности второго порядка
                          Δ2Yx= ΔYx+1 - Δ Yx,
                          Δ2Yx+1= Δ Yx+2 - ΔYx+1,
                          Δ2Yx+2= Δ Yx+3 - ΔYx+2,
                            ... ... ... ... ...
                        Разности третьего порядка
                          Δ3Yx= Δ2Yx+1 - Δ2Yx,
                          Δ3Yx+1= Δ2Yx+2 - Δ2Yx+1,

90

Страницы