Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

85
y′ = f(x, y).
Пример 3.46. Найти общее решение уравнения y′ = 3x.
Решение. Интегрируя, находим
y = ∫ 3x dx, y = 3x
2
/2 + C,
где С - произвольная постоянная. Придавая С конкретные числовые значе-
ния, будем получать частные решения, например,
y = 3x
2
/2 (С= 0),
y = 3x
2
/2 + 5 (С = 5)
и т.д.
Пример 3.47. Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, по-
ложенной в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год.
Пусть Y
o
обозначает начальную денежную сумму, а Y
x
- денежную сумму
по истечении x лет. Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы
имели
Y
x+1
= (1+r)Y
x,
где x = 0, 1, 2, 3,.... Если бы проценты начислялись два раза в год (по исте-
чении каждого полугодия), то мы имели бы
Y
x+1/2
= (1 + r/2)Y
x,
где x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Вообще, если проценты начисляются n раз в год и x
принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда
Y
x+1/n
= (1 + r/n)Y
x,
то есть
YY
1/ n
rY
x+1/n x
x
−
= .
Если обозначить 1/n = h, то предыдущее равенство перепишется так:
YY
h
rY
x+h x
x
−
= .
Неограниченно увеличивая n (при n→∞, h→0) мы в пределе приходим
к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении
процентов:
dY
dx
rY
x
x
= ,
то есть при непрерывном изменении x закон возрастания выражен диффе-
ренциальным уравнением 1- го порядка. Отметим для четкости, что Y
x
- 
                                 y′ = f(x, y).
   Пример 3.46. Найти общее решение уравнения y′ = 3x.
   Решение. Интегрируя, находим
                          y = ∫ 3x dx, y = 3x2/2 + C,
где С - произвольная постоянная. Придавая С конкретные числовые значе-
ния, будем получать частные решения, например,
                              y = 3x2/2 (С= 0),
                              y = 3x2/2 + 5 (С = 5)
и т.д.
    Пример 3.47. Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, по-
ложенной в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год.
Пусть Yo обозначает начальную денежную сумму, а Yx - денежную сумму
по истечении x лет. Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы
имели
                               Yx+1 = (1+r)Yx,
где x = 0, 1, 2, 3,.... Если бы проценты начислялись два раза в год (по исте-
чении каждого полугодия), то мы имели бы
                             Yx+1/2 = (1 + r/2)Yx,
где x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Вообще, если проценты начисляются n раз в год и x
принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда
                             Yx+1/n = (1 + r/n)Yx,
то есть
                               Yx+1/ n − Yx
                                            = rYx .
                                  1/ n
   Если обозначить 1/n = h, то предыдущее равенство перепишется так:
                                Yx+h − Yx
                                          = rYx .
                                    h
   Неограниченно увеличивая n (при n→∞, h→0) мы в пределе приходим
к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении
процентов:
                                  dYx
                                      = rYx ,
                                   dx
то есть при непрерывном изменении x закон возрастания выражен диффе-
ренциальным уравнением 1- го порядка. Отметим для четкости, что Yx -

                                                                           85

Страницы