Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 85 стр.

                                                       n
                                               A = ∫ f(t)e -δ t dt .
                                                       0


    Пусть функция потока платежей является линейной: Rt = Ro + at, где
Ro - начальная величина платежа, выплачиваемого за единицу времени, в
которой измеряется срок ренты. Вычислим современную величину A,
пользуясь правилами интегрирования определенного интеграла:
                                    n                      n                  n
                          A = ∫ (R 0 + at) e - δ t dt = ∫ R 0 e - δ t dt + ∫ at e - δ t dt .
                                    0                      0                  0

                                n                      n
      Обозначим A1 = ∫ R 0 e - δ t dt , A2 = ∫ at e - δ t dt .
                                0                      0
                            n
      Имеем: A1 = R 0 ∫ e - δ t dt = - Ro/δ e - δ t ⎢ 0n = - Ro/δ( e - δ n -eo) = - Ro/δ( e - δ n -1) =
                            0
                                n
= Ro( e - δ n -1)/δ. A2 = a ∫ t e - δ t dt . Вычислим неопределенный интеграл
                                0

∫te
      -δt
         dt по частям: u = t, dv = e - δ t dt ⇒ du = dt, v = ∫ e - δ t dt = - e - δ t /δ, тогда
     -δt        -δt           -δt          -δt
∫ t e dt = - t e /δ + 1/δ ∫ e dt = - t e /δ (t+1/δ) +C. Следовательно,
A2 = -a t e - δ t /δ (t+1/δ)⎢ 0n = ((1- e - δ n )/δ - n e - δ n )a/δ.
   Итак, исходный интеграл
                   A = A1 + A2 = Ro( e - δ n -1)/δ + ((1- e - δ n )/δ - n e - δ n )a/δ.

      9. Дифференциальные уравнения
      При изучении интегралов перед нами стояла задача: найти y, если
                                                    y′ = f(x),
или dy = f(x)dx. Решение, как известно, дается формулой
                                                  y = ∫ f(x)dx
и сводится, таким образом, к вычислению неопределенного интеграла. Од-
нако на практике значительно чаще встречается гораздо более сложная за-
дача: найти функцию y, если известно, что она удовлетворяет данному со-
отношению вида
                                         F(x, y, y′, y′′,..., y(n)) = 0.                              (9.1)
   Такого рода соотношения, связывающие независимую переменную x,
неизвестную функцию y и ее производные до некоторого порядка n вклю-
чительно, называются дифференциальными уравнениями.
   В дифференциальном уравнении, таким образом, неизвестной является
функция, входящая в уравнение под знаком производных (или дифферен-
циалов) того или иного порядка. Порядок наивысшей производной, входя-

                                                                                                          83