Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

81
Решение. Нет, нельзя. Если формально вычислять этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действи-
тельно,
dx
(x - 4)
4
0
5
∫
= −=−+=−=−
1
3
1
3
1
192
63
192
21
64
0
5
(x - 4)
3
.
Но подынтегральная функция f(x) =
1
(x - 4)
4
> 0 и, следовательно, инте-
грал не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в
том, что подынтегральная функция f(x) =
1
(x - 4)
4
имеет бесконечный раз-
рыв в точке x = 4, принадлежащей промежутку интегрирования. Следова-
тельно, здесь формула Ньютона-Лейбница неприменима.
Пример 3.41. Вычислить интеграл
xe dx
- x
2
0
∞
∫
.
Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех
значениях х и, следовательно, имеет первообразную F(x)=
−
1
2
e
- x
2
.
По определению имеем:
xe dx
- x
2
0
∞
∫
=
b
- x
b
lim
xe dx
2
→∞
∫
0
.
По формуле Ньютона-Лейбница,
xe dx
- x
b
2
0
∫
= F(b) - F(0) =
−
1
2
e
- b
2
+
1
2
e
- 0
2
=
1
2
(1- e
- b
2
)
;
b
- x
b
lim
xe dx
2
→∞
∫
0
=
b
- b
lim
1
2
(1- e
2
→∞
)
=
1
2
1
2
0
1
2
-
1
2
e
b
- b
lim
2
→∞
=−=
.
8.2.Использование интегралов в экономических расчетах
Пример 3.42. Определить объем продукции, произведенной рабочим за
третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется
функцией
f(t) = 3/(3t +1) + 4.
Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производи-
тельность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции,
произведенной рабочим за промежуток времени от t
1
до t
2
будет выражать-
ся формулой
V =
f(t)dt
t
t
1
2
∫
.
В нашем случае
V =
()(ln())
3
31
4314
2
3
2
3
t
dt t t
+
+= ++
∫
= ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4. 
   Решение. Нет, нельзя. Если формально вычислять этот интеграл по
формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действи-
             5
                  dx       1   11     63       21
тельно, ∫              4
                         =−
                        =− +      =−       =−
                                            5
                                            0     .
             0 (x - 4)      3(x - 4) 3
                           3 192     192       64
                                        1
   Но подынтегральная функция f(x) =           > 0 и, следовательно, инте-
                                     (x - 4) 4
грал не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в
                                                                               1
том, что подынтегральная функция f(x) =                                               имеет бесконечный раз-
                                                                            (x - 4) 4
рыв в точке x = 4, принадлежащей промежутку интегрирования. Следова-
тельно, здесь формула Ньютона-Лейбница неприменима.
                                                                    ∞       2
   Пример 3.41. Вычислить интеграл ∫ xe - x dx .
                                                                    0

   Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех
                                                                                             1   2
значениях х и, следовательно, имеет первообразную F(x)= − e - x .
                                                                                             2
                                                ∞   2
                                                                        b       2
   По определению имеем: ∫ xe - x dx = lim ∫ xe - x dx .
                                       b →∞     0                       0

   По формуле Ньютона-Лейбница,
    b
          - x2                   1 2 1 2 1              2

   ∫ xe   dx = F(b) - F(0) = − e - b + e - 0 = (1- e - b ) ;
   0                             2     2          2
        b
           - x2         1   - b2    1 1      - b2   1      1
   lim ∫ xe dx = lim (1- e ) = - lim e = − 0 = .
   b →∞ 0          b →∞ 2           2 2 b→∞         2      2

   8.2.Использование интегралов в экономических расчетах
   Пример 3.42. Определить объем продукции, произведенной рабочим за
третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется
функцией
                                                f(t) = 3/(3t +1) + 4.
    Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производи-
тельность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции,
произведенной рабочим за промежуток времени от t1 до t2 будет выражать-
ся формулой
                                                              t2
                                                    V = ∫ f(t)dt .
                                                              t1


   В нашем случае
                 3
                       3                                  3
        V =∫(               + 4)dt = (ln(3t + 1) + 4t )            = ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4.
             2       3t + 1                               2




                                                                                                            81

Страницы