Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

78
Δ x
i
= x
i
- x
i−1
. Сумма вида
i=1
n
∑
f(ξ
i
)Δ x
i
называется интегральной суммой, а
ее предел при λ = max Δ x
i
→0, если он существует и конечен, называется
определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:
fxdx
a
b
() =
∫
λ
→0
lim
i=1
n
∑
f(ξ
i
)Δ x
i.
(8.5)
Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке
[a, b], числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла.
Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:
1)
fxdx
a
b
() =
∫
fzdz
a
b
() =
∫
ftdt
a
b
()
∫
;
2)
fxdx
a
a
() =
∫
0 ;
3)
fxdx
a
b
() =
∫
-
fxdx
b
a
()
∫
;
4)
kf x dx k
a
b
() =
∫
fxdx
a
b
()
∫
, (k = const, k∈R);
5)
(f x g(x))dx f(x)dx + g(x)dx
a
b
a
b
a
b
()±=
∫∫∫
;
6)
fxdx
a
b
() =
∫
f x dx f(x)dx
c
b
a
c
() +
∫∫
;
7)
fxdx
a
b
() =
∫
f(ξ)(b-a) (ξ∈[a,b]).
Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.
Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует не-
определенный интеграл
∫ f(x) dx = F(x) + C
и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенный
интеграл с неопределенным:
fxdx
a
b
() =
∫
F(b) - F(a). (8.6)
Геометрическая интерпретация: определенный интеграл
f(x)dx
a
b
∫
пред-
ставляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху
кривой y= f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.
Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (не-
ограниченных) функций называются несобственными. Несобственные
интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяе-
мые следующим образом: 
                                              n
Δ xi = xi - xi−1. Сумма вида ∑ f(ξi)Δ xi называется интегральной суммой, а
                                              i=1

ее предел при λ = max Δ xi →0, если он существует и конечен, называется
определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:
                                          b                   n
                                          ∫ f ( x)dx = lim ∑ f(ξi)Δ xi.        (8.5)
                                          a             λ → 0 i=1


     Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке
[a, b], числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла.
     Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:
         b             b            b
     1) ∫ f ( x)dx = ∫ f ( z)dz = ∫ f ( t )dt ;
         a             a            a
         a
     2) ∫ f ( x)dx =0 ;
         a
         b                 a
     3) ∫ f ( x)dx = - ∫ f ( x)dx ;
         a                 b
         b                     b
     4) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx , (k = const, k∈R);
         a                     a
         b                          b               b
     5) ∫ (f ( x) ± g(x))dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx ;
         a                          a               a
         b             c            b
     6) ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f(x)dx ;
         a             a            c
         b
     7) ∫ f ( x)dx = f(ξ)(b-a) (ξ∈[a,b]).
         a

   Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.
   Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует не-
определенный интеграл
                                               ∫ f(x) dx = F(x) + C
и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенный
интеграл с неопределенным:
                                               b
                                               ∫ f ( x)dx = F(b) - F(a).       (8.6)
                                               a

                                                                           b
     Геометрическая интерпретация: определенный интеграл ∫ f(x)dx пред-
                                                                           a

ставляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху
кривой y= f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.
   Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (не-
ограниченных) функций называются несобственными. Несобственные
интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяе-
мые следующим образом:

78

Страницы