Поверхностные модели в системах трехмерной компьютерной графики. Косников Ю.Н. - 39 стр.

                                                                            39
решения задачи интерполяции, то есть нахождения промежуточных точек кривой
линии или поверхности, заданной опорными точками. Уравнения сплайнов
имеют, обычно, степень не выше третьей, так как именно такая степень является
минимально необходимой для гладкой стыковки криволинейных участков.
Покажем это на примере сплайн-функции одной переменной.
     Пусть две точки Р1 и Р2, показанные на рисунке 3.4, нужно соединить
кривой S таким образом, чтобы она проходила через эти точки и гладко
сопрягалась с соседними участками кривой. Соседние участки на рисунке
показаны толстыми сплошными линиями, а желаемый вид кривой S – штриховой
линией.
                                                х
     Очевидно,      для    решения                         S   Р2
                                                     Р1
задачи нужно наложить на кривую
S четыре ограничения:
     1) и    2) – кривая проходит
                                                                       у
          через точки Р1 и Р2, тогда
          составная кривая не будет
                                        Рисунок 3.4 – Сплайн-интерполяция
          иметь разрывов первого                      по двум точкам
          рода;
     3) и 4) – сопряжение кривой S с соседними участками в точках Р1 и Р2
          является плавным (гладким), тогда составная кривая не будет иметь
          разрывов второго рода.
Для этого требуется иметь математическое описание кривой S в виде многочлена,
имеющего не менее четырех коэффициентов. Самым простым из таких
многочленов является многочлен третьей степени, который, в общем случае,
имеет вид

                              y = ax 3 + bx 2 + cx + d ,
включающий как раз четыре коэффициента формы a,b,c и d. Тогда наложение
четырех упомянутых ограничений дает систему четырех уравнений с четырьмя
неизвестными: