Поверхностные модели в системах трехмерной компьютерной графики. Косников Ю.Н. - 40 стр.

                                                                                    40

1) прохождение через Р1 –     y1 = ax13 + bx12 + cx1 + d ,

2) прохождение через Р2 –     y 2 = ax23 + bx22 + cx2 + d ,
3) равенство первых производных соседних сплайнов в точке Р1 –

                              y&1 = 3ax12 + 2bx1 + c ,
4) равенство первых производных соседних сплайнов в точке Р2 –

                                   y& 2 = 3ax22 + 2bx2 + c .
     Сплайновая поверхность, в отличие от кривой, должна проходить через
четыре точки, являющиеся для нее угловыми. Поверхность можно представить
как результат движения кубической кривой параллельно самой себе. При этом
конечные точки этой кривой в процессе движения скользят по двум другим
(боковым) кубическим кривым. В результате получается поверхность, которая
описывается    бикубическим    степенным         многочленом.    Каждое      слагаемое
многочлена включает два аргумента, имеющих в различных сочетаниях степени
от 0 до 3. Существует много разновидностей сплайновых поверхностей,
обладающих различными свойствами и формируемых с использованием
различных условий и геометрических параметров [3].
     Для     описания   сплайнов     можно      использовать    явную,    неявную   и
параметрическую формы. В компьютерной графике                   обычно используют
параметрическое описание сплайнов. Явная форма описания в декартовой
системе координат по ряду причин используется редко. Во-первых, вид описания
поверхности в явной форме зависит от выбранного положения системы
координат.    Во-вторых,   некоторые        участки      поверхности     могут   иметь
вертикальные касательные векторы, то есть. стремящиеся к бесконечности
производные. В этом случае невозможно задать условия стыковки отсеков
поверхности. Наконец, в-третьих, параметрическое представление, в отличие от
явной формы, описывает естественный последовательный обход участков
поверхности в процессе ее развертывания во времени, что было пояснено на
примере квадрик. В общем случае, отсек сплайновой поверхности описывается
бикубическими выражениями вида