Поверхностные модели в системах трехмерной компьютерной графики. Косников Ю.Н. - 43 стр.

                                                                                               43

                            x ( u, v ) = U ⋅ M ⋅ PX ⋅ M T ⋅ V T ,
                            y ( u, v ) = U ⋅ M ⋅ PY ⋅ M T ⋅ V T ,                           (3.5)
                            z ( u, v ) = U ⋅ M ⋅ PZ ⋅ M ⋅ V ,
                                                          T         T



где U, V – векторы степеней параметров u и v:
                         U = u3 u2 u 1 ,            V = v3 v2 v 1 ;

PX , PY , PZ – геометрические матрицы, содержащие координаты x, y и z опорных
точек, например, для нумерации опорных точек, принятой на рисунке 3.6,
                                        x00   x01   x02       x03
                                        x10   x11   x12       x13
                                 PX =                               ;
                                        x20   x21   x22       x23
                                        x30   x31   x32       x33

M – базисная матрица поверхности, которая содержит числовые коэффициенты,
определяющие своеобразие поверхности.
     Сплайны характеризуются рядом полезных свойств. Было уже упомянуто,
что форма сплайнового отсека следует за формой характеристического
многогранника. Если все его опорные точки лежат в одной плоскости, то все
текущие точки сплайна тоже лежат в этой плоскости. Характеристический
многогранник     является       описанным           вокруг              сплайновой   поверхности,
следовательно, попадание этой поверхности в некоторый объем (например, объем
видимости наблюдателя) легко проверяется по шестнадцати точкам. Кроме того,
сплайны инвариантны по отношению к аффинным преобразованиям. Это
означает, что при необходимости сдвига, поворота, масштабирования и
отражения сплайна не нужно подвергать этим преобразованиям все текущие
точки отсека. Достаточно выполнить преобразования только над опорными
точками, а потом просто применить алгоритм развертывания сплайна (выражения
(3.5)) на этих преобразованных опорных точках.
      В геометрическом моделировании                      часто применяется бикубическая
поверхность Безье. Ограничениями при построении этой поверхности является ее
прохождение через угловые точки характеристического многогранника и
заданные на его границах наклоны касательных в направлениях u, v. На рисунке