Поверхностные модели в системах трехмерной компьютерной графики. Косников Ю.Н. - 45 стр.

                                                                                                                 45
Можно убедиться в том, что сплайн Безье проходит через угловые опорные точки,
например, через точку Р00. Покажем это на примере координаты х. Для этого
подставим в первое выражение (3.5) матрицу М и значения параметров u=v=0, а
затем последовательно выполним матричные операции:

                          −1
                           − 3 1 x00 3                   x01   x02    x03 − 1 3 − 3         1 0
                     3 − 6 3 0 x10                       x11   x12    x13 3 − 6 3           0       0
x(u , v) = 0 0 0 1 ⋅            ⋅                                        ⋅                      ⋅     =
                     −3 3   0 0 x20                      x21   x22    x23 − 3 3  0          0       0
                     1  0   0 0 x30                      x31   x32    x33 1   0  0          0       1
           x00          x01    x02       x03 − 1 3 − 3         1    0                             −13 −3     1    0
            x           x11    x12       x13 3 − 6 3           0    0                            3 −6 3      0    0
= 1 0 0 0 ⋅ 10                              ⋅                      ⋅ = x00     x01   x02   x03 ⋅                 ⋅ =
           x20          x21    x22       x23 − 3 3  0          0    0                            −3 3 0      0    0
           x30          x31    x32       x33 1   0  0          0    1                            1  0 0      0    1
                                                                                       0
                                                                                       0
= (− x00 + 3 x01 − 3 x02 + x03 )     (3x00 − 6 x01 + 3x02 ) (− 3x00 + 3x01 )   (x00 ) ⋅ = x00 .
                                                                                       0
                                                                                       1

       Основной          задачей           при      использовании              сплайновых           примитивов    в
геометрическом моделировании пространственных объектов является расстановка
опорных точек. В случае сплайна Безье четыре угловые точки примитива
находятся легко: они принадлежат поверхности объекта. Остальные точки
должны выбираться таким образом, чтобы обеспечить гладкую стыковку
примитива с соседними. Нетрудно сообразить, что таких соседних примитивов
будет восемь: четыре будут соприкасаться с данным примитивом ребрами и
четыре – угловыми точками. Для каждой угловой точки примитива нужно
выполнить три условия гладкости: по направлению координаты u, по
направлению координаты v и по диагональному направлению. Для этого крайние
опорные точки соседних примитивов должны лежать на одной прямой в каждом
из названных направлений, что иллюстрируется рисунком 3.7.

       На рисунке толстыми линиями показаны общие границы четырех
сплайновых примитивов S1,…,S4. Их углы сходятся в одной точке, которая в
каждом примитиве имеет свое обозначение в соответствии с обозначениями на
рисунке 3.6 (первый нижний индекс обозначения показывает номер примитива).