Поверхностные модели в системах трехмерной компьютерной графики. Косников Ю.Н. - 47 стр.

                                                                                                        47
всего характеристического многогранника и проходит через его угловые точки. В
приложении А приведена иллюстрирующая программа моделирования сплайна
Безье, написанная в среде математического пакета MathCAD.

       Кроме сплайнов Безье, в компьютерной графике широко применяются
базовые сплайны, или В-сплайны («би-сплайны»). Их математическая модель в
матричной форме также описывается выражениями (3.5). Форма В-сплайна
однозначно задается координатами опорных точек, однако, отсек, в общем случае,
только приближается к опорным точкам и может не проходить ни через одну из
них.    Для   В-сплайновой            поверхности            третьей           степени      функциональные
коэффициенты в выражениях (3.4) определяются формулами [3]
                            1                            1
                  f 0 ( u) = (1 − u) 3 ,       f 1 ( u) = ( 3u 3 − 6u 2 + 4) ,
                            6                            6                                            (3.6)
                            1                                          1
                  f 2 ( u) = ( −3u 3 + 3u 2 + 3u + 1) ,      f 3 ( u) = u 3 ,
                            6                                          6
(формулы для многочленов fj(v) отличаются от приведенных только тем, что в
них всюду вместо параметра u стоит параметр v), а базисная матрица M имеет вид
                                          −1          3    −3          1
                                       1 3         −6         3        0
                                M=                                         .
                                       6 −3           0       3        0
                                          1           4       1        0

       Подставив матрицу М в выражения (3.5) и проделав матричные операции,
как это было сделано для сплайна Безье, можно убедиться, что В-сплайн не
проходит через опорные точки. Например, текущая точка с параметрическими
координатами u=v=0 получает следующее значение координаты х:
                              1
                 x(u , v) =      (x00 + 4 x10 + x20 + 4 x01 + 16 x11 + 4 x21 + x02 + 4 x12 + x22 ).   (3.7)
                              36
Оно показывает, что координата текущей точки не совпадает с координатой ни
одной опорной точки, а является суммой «вкладов», которые вносят несколько
опорных точек. Наибольший вклад вносит опорная точка Р11, следовательно,
именно к ней и будет ближе текущая точка при нулевых значениях аргументов u
и v.