Рекомендуемые вопросы по курсу математического анализа (II курс I семестр). Кудрявцев Л.Д. - 9 стр.

    6. Может ли равняться нулю интеграл от неотрица-
тельной функции по измеримой по Жордану области (или
по замыканию измеримой по Жордану области), если в не-
которой точке эта функция положительна и непрерывна?
    7. В чем состоит полная аддитивность интеграла по
открытым измеримым множествам?
    8. В чем состоит интегральная теорема о среднем для
произведения интегрируемых по Риману функций, одна из
которых знакопостоянна? Как формулируется эта теорема
с помощью “среднего значения”, если множество, по кото-
рому производится интегрирование, является областью?


   Лекция 5. Сведение кратного интеграла
               к повторному
   1. Что называется интегралом, зависящим от параме-
тра?
   2. Что называется повторным интегралом?
   3. Будет ли функция
                    Z ψ(x)
            F (x) =        f (x,y)dy, a 6 x 6 b,
                       ϕ(x)
непрерывна на отрезке [a,b], если функция f (x,y) непре-
рывна на множестве
        E = {(x,y) : a 6 x 6 b, ϕ(x) 6 y 6 ψ(x)},
а функции ϕ и ψ непрерывны на отрезке [a,b]?
   4. Будет ли в предположениях вопроса 3 справедлива
формула
         ZZ                Z b Z ψ(x)
             f (x,y)dxdy =    dx       f (x,y)dy?
            E                 a       ϕ(x)
   5. Указать достаточные условия, при которых справед-
лива формула
       Z b Z ψ(x)             Z d Z β(y)
          dx      f (x,y)dy =    dy      f (x,y)dx.
        a       ϕ(x)              c      α(y)


                                                      9