Рекомендуемые вопросы по курсу математического анализа (II курс II семестр). Кудрявцев Л.Д. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16. Будет ли нормированное (полунормированное) пространство
метрическим? Если да, то с какой метрикой?
17. Какое пространство называется банаховым?
18. Можно ли всякое линейное нормированное пространство по-
полнить до банахова пространства? Если можно, то каким
образом?
19. Что называется линейной оболочкой данной системы элементов
линейного пространства?
20. Какая система называется базисом линейного нормированного
пространства?
21. Всякий ли базис линейного нормированного пространства
является полной системой? Верно ли обратное в случае счет-
ной системы?
22. Какая последовательность функций называется сходящейся в
среднем? В смысле среднего квадратического?
23. В каком функциональном пространстве сходимость по норме
равносильна равномерной сходимости?
24. Что называется скалярным произведением в линейном про-
странстве?
25. Будет ли выражение (f, g) =
R
b
a
f(t)g(t)dt скалярным (почти
скалярным) произведением? Для каких функций?
26. Напишите неравенство Коши–Буняковского. Справедливо ли
оно для почти скалярного произведения или только для ска-
лярного?
27. Будет ли линейное пространство со скалярным (почти скаляр-
ным) произведением нормированным (полунормированным)?
Если да, то с какой нормой (полунормой)? Будет ли оно ме-
трическим? Если да, то с какой метрикой?
28. Как определяются пространства RL
2
[a, b] и CL
2
[a, b]?
29. Докажите неравенства:
kfk
RL
2
[a,b]
6
√
b − akfk
B[a,b]
,
kfk
RL
1
[a,b]
6 (b −a)kfk
B[a,b]
,
kfk
RL
1
[a,b]
6
√
b − akfk
RL
2
[a,b]
.
11
16. Будет ли нормированное (полунормированное) пространство
    метрическим? Если да, то с какой метрикой?
17. Какое пространство называется банаховым?
18. Можно ли всякое линейное нормированное пространство по-
    полнить до банахова пространства? Если можно, то каким
    образом?
19. Что называется линейной оболочкой данной системы элементов
    линейного пространства?
20. Какая система называется базисом линейного нормированного
    пространства?
21. Всякий ли базис линейного нормированного пространства
    является полной системой? Верно ли обратное в случае счет-
    ной системы?
22. Какая последовательность функций называется сходящейся в
    среднем? В смысле среднего квадратического?
23. В каком функциональном пространстве сходимость по норме
    равносильна равномерной сходимости?
24. Что называется скалярным произведением в линейном про-
    странстве?                      Rb
25. Будет ли выражение (f, g) = a f (t)g(t)dt скалярным (почти
    скалярным) произведением? Для каких функций?
26. Напишите неравенство Коши–Буняковского. Справедливо ли
    оно для почти скалярного произведения или только для ска-
    лярного?
27. Будет ли линейное пространство со скалярным (почти скаляр-
    ным) произведением нормированным (полунормированным)?
    Если да, то с какой нормой (полунормой)? Будет ли оно ме-
    трическим? Если да, то с какой метрикой?
28. Как определяются пространства RL2 [a, b] и CL2 [a, b]?
29. Докажите неравенства:          √
                    kf kRL2 [a,b] 6 b − akf kB[a,b] ,
                   kf kRL1 [a,b] 6 (b − a)kf kB[a,b] ,
                                  √
                  kf kRL1 [a,b] 6 b − akf kRL2 [a,b] .


                               11

Страницы