Рекомендуемые вопросы по курсу математического анализа (II курс II семестр). Кудрявцев Л.Д. - 12 стр.

 30. Будет ли равномерно сходящаяся на отрезке последователь-
      ность непрерывных функций сходиться на этом отрезке в сред-
      нем (в смысле среднего квадратичного)?
 31. Будет ли сходящаяся на отрезке в смысле среднего квадратич-
      ного последовательность функций с интегрируемым квадратом
      на этом отрезке сходиться на нем в среднем?
 32. Следует ли из равномерной сходимости на конечном (бесконеч-
      ном) промежутке последовательности непрерывных функций ее
      сходимость на этом промежутке в среднем? В смысле среднего
      квадратичного?
 33. Следует ли из равномерной сходимости на конечном (бесконеч-
      ном) промежутке последовательности абсолютно интегрируе-
      мых функций ее сходимость в среднем?
 34. Постройте пример последовательности неотрицательных не-
      прерывных на отрезке функций, сходящейся, но неравномерно
      к функции, тождественно равной нулю на этом отрезке.
 35. Постройте пример последовательности неотрицательных не-
      прерывных на отрезке функций, сходящейся на этом отрезке в
      среднем (в смысле среднего квадратичного), но не сходящейся
      равномерно.
36∗ . Построить пример последовательности неотрицательных не-
      прерывных на отрезке функций, сходящейся на нем в среднем,
      но не сходящейся в смысле среднего квадратичного.
37∗ . Построить пример последовательности непрерывных неотри-
      цательных на отрезке функций, сходящейся в среднем, но не
      сходящейся ни в одной точке.
 36. Будет ли почти скалярное (скалярное) произведение непре-
      рывной функцией относительно порожденной им полунормы
      (нормы)?
 37. Можно ли почленно интегрировать на отрезке ряд интегриру-
      емых в квадрате на этом отрезке функций, сходящийся на нем
      в смысле среднего квадратичного к функции с интегрируемым
      квадратом?



                               12