Рекомендуемые вопросы по курсу математического анализа (II курс II семестр). Кудрявцев Л.Д. - 9 стр.

33. Будет ли замкнутым пересечение конечной (бесконечной) сово-
    купности замкнутых множеств?
34. Будет ли замкнутым объединение конечной (бесконечной) со-
    вокупности замкнутых множеств?
35. Что называется замыканием множества?
36. Какое множество называется плотным в данном метрическом
    пространстве?
37. Что называется пополнением метрического пространства?
38. Что является пополнением метрического пространства рацио-
    нальных чисел с естественной метрикой?
39. Если последовательности {xn } и {yn } точек метрического про-
    странства R называются эквивалентными при условии, что
     lim ρ(xn , yn ) = 0, то как можно определить метрику в мно-
    n→∞
    жестве R∗ эквивалентных фундаментальных последовательно-
    стей так, чтобы пространство R изометрически отображалось
    в R∗ ?
40. Если R∗ — множество эквивалентных фундаментальных по-
    следовательностей метрического пространства R (см. п.39),
                x∗ ∈ R∗ , y ∗ ∈ R∗ , {xn } ∈ x∗ , {yn } ∈ y ∗
      и                           def
                       ρ∗ (x∗ , y ∗ ) = lim ρ(xn , yn ),
                                        n→∞
      то будет ли функция ρ∗ метрикой в множество R∗ ?
41.   Будет ли метрическое пространство R изометрически отобра-
      жаться в пространстве R∗ (см. п.40)?
42.   Будет ли метрическое пространство R, отождествленное со
      своим изометрическим образом в R∗ , плотным в пространстве
      R∗ ?
43.   Будет ли метрическое пространство R∗ полным?
44.   Можно ли пополнить любое метрическое пространство?
45.   Если R ⊂ R∗ (см. п.42), {xn } ∈ x∗ ∈ R∗ , то чему равен предел
       lim ρ∗ (xn , x)?
      n→∞




                                   9