Рекомендуемые вопросы по курсу математического анализа (II курс II семестр). Кудрявцев Л.Д. - 15 стр.

 5. Будет ли система функций 1, cos x, sin x, . . ., cos nx, sin nx, ...
    линейно зависима?
 6. Какие многочлены называются многочленами Лежандра?
 7. Будет ли система многочленов Лежандра линейно зависимой
    или линейно независимой?
 8. Чему равно скалярное произведение многочлена Лежандра с
    многочленом меньшей степени?
 9. Можно ли любой многочлен представить в виде линейной ком-
    бинации многочленов Лежандра?
10. Если некоторый многочлен степени n представлен в виде ли-
    нейной комбинации многочленов Лежандра, то чему равны ко-
    эффициенты разложения при многочленах Лежандра степени
    m > n?
11. Какая имеется связь между многочленами Лежандра и орто-
    нормированной системой многочленов, полученной стандарт-
    ным процессом ортогонализации из системы неотрицательных
    целых степеней 1, x, x2 , . . ., xn , ... на отрезке [−1, 1]?
12. Будет ли полной система элементов предгильбертова про-
    странства, получающаяся из полной системы стандартным
    процессом ортогонализации?
13. Что называется вложением одного полунормированного про-
    странства в другое?
14. Если система элементов некоторого пространства R1 , вложен-
    ного и плотного в пространстве R2 , полна в R1 , то будет ли
    она полна в R2 ?
15. Если система элементов полна в некотором подмножестве R1 ,
    плотном в пространстве R2 , будет ли она полна в R2 ?
16. Будет ли система 1, x, x2 , . . ., xn , ... полна в пространстве
    C[a, b]? в RL1 [a, b]? в RL2 [a, b]? в L2 [a, b]?
17. Будет ли система полиномов Лежандра полна в пространстве
    C[a, b]? в RL1 [a, b]? в RL2 [a, b]? в L2 [a, b]?
18. Будет ли тригонометрическая система полна в пространстве
    C[−π, π]? в C ∗ [−π, π]? в L2 [−π, π]?



                                 15