Рекомендуемые вопросы по курсу математического анализа (II курс II семестр). Кудрявцев Л.Д. - 17 стр.

 5. Какая существует связь в предгильбертовом пространстве ме-
    жду сходимостью ряда Фурье по заданной ортогональной си-
    стеме любого элемента пространства и полнотой указанной си-
    стемы?
 6. Какая существует связь в предгильбертовом пространстве ме-
    жду полнотой ортогональной системы и выполнением равен-
    ства Парсеваля по этой системе для любого элемента?
 7. Будет ли единственным разложение элемента предгильбертова
    пространства по элементам ортогональной системы ненулевых
    элементов?
 8. Что можно сказать об элементе предгильбертова простран-
    ства, у которого все коэффициенты Фурье по некоторой полной
    ортогональной системе равны нулю?
 9. Что можно сказать о двух элементах предгильбертова про-
    странства, у которых все коэффициенты Фурье по некоторой
    полной ортогональной системе, имеющие одинаковые номера,
    равны между собой?
10. Является ли в любом гильбертовом пространстве рядом Фу-
    рье некоторого элемента этого пространства ряд, членами ко-
    торого являются элементы ортогональной последовательности
    с коэффициентами, сумма квадратов которых образует сходя-
    щийся ряд? Что можно сказать в случае гильбертова про-
    странства?
11. Какая система элементов предгильбертова пространства назы-
    вается замкнутой?
12. Какая существует связь в гильбертовом пространстве между
    замкнутыми и полными ортогональными системами?
13. Будет ли тригонометрический ряд Фурье любой функции с ин-
    тегрируемым на [−π, π] квадратом сходиться к самой функции
    в смысле среднего квадратичного?
14. Что называется равенством Парсеваля по тригонометрической
    системе? Будет ли оно верно для функции с интегрируемым
    квадратом? Для непрерывной функции?



                             17