Методы решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия". Кулагина И.В - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Как и в случае кривых второго порядка мы не будем рассматривать слу-
чаи, когда вещественные решения уравнения (12.4) образуют пустое множе-
ство, точку или поверхность первого порядка (т.е. плоскость). Укажем список
поверхностей второго порядка и их канонические формы:
A1) эллипсоид
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1,
A2) однополостной гиперболоид
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 1,
A3) двуполостной гиперболоид
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= −1,
A4) конус
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 0,
B1) эллиптический параболоид z =
x
2
a
2
+
y
2
b
2
,
B2) гиперболический параболоид (седло) z =
x
2
a
2
−
y
2
b
2
,
B3) цилиндр над кривой второго порядка серии A,
C) цилиндр над кривой второго порядка серии B.
Серия B3 состоит из эллиптического цилиндра
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, гиперболиче-
ский цилиндра
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1 и пары пересекающихся плоскостей
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 0.
Серия С состоит из параболического цилиндра y
2
= 2px и пары парал-
лельных плоскостей x
2
− a
2
= 0.
Типичная задача теории поверхностей второго порядка состоит в следую-
щем: дано уравнение (12.9), требуется найти каноническую форму и канони-
ческую систему координат поверхности.
Метод её решения во многом схож с задачей для кривых. Рассмотрим
квадратичную часть f(x, y) = a
11
x
2
+ a
22
y
2
+ a
33
z
2
+ 2a
12
xy + 2a
13
xz + 2a
23
yz.
Матрица квадратичной части
A =
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
называется главной матрицей поверхности. Найдём её собственные значения
матрицы λ
1
, λ
2
, λ
3
. Если все три собственных значения 6= 0, то наша поверх-
ность серии A (см. Задача 12.5). Если два собственных значения 6= 0 и одно
равно 0, то наша поверхность серии B (см. Задача 12.6). Наконец, если одно
ненулевое и два нулевых собственных значения, то наша поверхность серии
C (см. Задача 12.7).
Найдем декартов(т.е. ортонормированный) базис из собственных векторов
матрицы A:
f
1
=
t
11
t
21
t
31
, f
2
=
t
12
t
22
t
32
, f
3
=
t
13
t
23
t
33
37

Страницы