Методы решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия". Кулагина И.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Перейдём в новую декартову систему координат со старым центром O и но-
вым базисом f
1
, f
2
, f
3
. При этом координаты преобразуются по формуле
x
y
z
= T
x
0
y
0
z
0
, где T =
t
11
t
12
t
13
t
21
t
22
t
23
t
31
t
32
t
33
. (12.11)
После перехода в новую систему координат уравнение (12.9) упрощается
F (x
0
, y
0
, z
0
) = λ
1
x
02
+ λ
2
y
02
+ λ
3
z
02
+ 2a
0
14
x
0
+ 2a
0
24
y
0
+ 2a
0
24
z
0
+ a
0
44
= 0, (12.12)
где λ
1
, λ
2
, λ
3
– собственные значения матрицы A.
Далее, для нахождения канонической формы и канонического базиса во
многом сводится к переносу начала координат.
Как и для кривых вычисления для серии A можно упростить, если при-
влечь следующие два соображения.
1) Многочлены
I
1
= a
11
+ a
22
+ a
33
I
2
=
a
11
a
12
a
12
a
22
+
a
11
a
13
a
13
a
33
+
a
22
a
23
a
23
a
33
I
3
=
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
I
4
=
a
11
a
12
a
13
a
14
a
12
a
22
a
23
a
24
a
13
a
23
a
33
a
34
a
14
a
24
a
34
a
44
являются инвариантами уравнения кривой. То есть они не меняются при
заменах (12.10). Отметим, первые три инварианта являются коэффициентами
характеристического многочлена главной матрицы |A − λE| = −λ
3
+ I
1
λ
2
−
I
2
λ + I
3
.
Уравнение кривой серии A переходом в новую декартову систему коорди-
нат можно привести к виду
λ
1
(x
0
)
2
+ λ
2
(y
0
)
2
+ λ
3
(z
0
)
2
+
I
4
I
3
= 0 (12.13)
Отсюда легко найти каноническую форму уравнения кривой.
2) Центр канонической системы координат кривой в серии A является её
центром симметрии и находится из решения системы уравнений
38

Страницы