ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Наша поверхность – эллипсоид. Осталось найти центр поверхности. Си-
стема уравнений (12.14)
10x − 4y + 18 = 0
−4x + 12y − 4z − 24 = 0
−4y + 14z − 6 = 0
имеет единственное решение O
0
= (−1, 2, 1).
Ответ. эллипсоид,
(x
0
)
2
2
+
(y
0
)
2
1
+
(z
0
)
2
2/3
= 1, каноническая система координат:
O
0
= (−1, 2, 1), f
1
=
1
3
2
2
1
, f
2
=
1
3
−2
1
2
, f
3
=
1
3
1
−2
2
.
Задача 12.6. Определить тип поверхности второго порядка, написать ее ка-
ноническое уравнение и найти каноническую систему координат
2x
2
− 7y
2
− 4z
2
+ 4xy + 20yz − 16zx + 60x − 12y + 12z − 90 = 0 (12.15)
Решение. Выпишем главную матрицы поверхности второго порядка и най-
дём её характеристический многочлен
A =
2 2 −8
2 −7 10
−8 10 −4
,
|A−λE| = −λ
3
+ I
1
λ
2
−I
2
λ + I
3
= −λ
3
−9λ
2
+ 162λ −15 = (λ −9)(λ + 18)λ.
Собственные значения: λ
1
= 9, λ
2
= −18, λ
3
= 0. Наша поверхность принад-
лежит серии B.
Находим ортонормированный базис из собственных векторов с собствен-
ными значениями λ
1
, λ
2
, λ
3
соответственно
f
1
=
1
√
3
−2
1
2
, f
2
=
1
√
3
1
−2
2
, f
3
=
1
√
3
−2
−2
−1
Перейдём в систему координат со старым центром 0 = (0, 0, 0) и новым бази-
сом f
1
, f
2
, f
3
. Формула (12.11) преобразования координат вектора принимает
вид:
x
y
z
=
1
3
−2 1 −2
1 −2 −2
2 2 −1
x
0
y
0
z
0
. (12.16)
40
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
