Методы решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия". Кулагина И.В - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Задача 12.7. Определить тип поверхности второго порядка, написать ее ка-
ноническое уравнение и найти каноническую систему координат
4x
2
+ y
2
+ 4z
2
− 4xy + 4yz − 8zx − 28x + 2y + 16z + 45 = 0. (12.18)
Решение.
Выпишем главную матрицы поверхности второго порядка и найдём её ха-
рактеристический многочлен
A =
4 −2 −4
−2 1 2
−4 2 4
,
|A − λE| = −λ
3
+ I
1
λ
2
− I
2
λ + I
3
= −λ
3
+ 9λ
2
= (λ − 9)λ
2
.
Собственные значения: λ
1
= 9, λ
2
= λ
3
= 0. Наша поверхность принадлежит
серии С. То есть либо параболический цилиндр, либо пара параллельных
плоскостей.
Находим ортонормированный базис из собственных векторов с собствен-
ными значениями λ
1
, λ
2
, λ
3
соответственно
f
1
=
1
√
3
2
−1
−2
, f
2
=
1
√
3
2
2
1
, f
3
=
1
√
3
1
−2
2
.
Перейдём в систему координат со старым центром 0 = (0, 0, 0) и новым бази-
сом f
1
, f
2
, f
3
. Формула (12.11) преобразования координат вектора принимает
вид:
x
y
z
=
1
3
2 2 1
−1 2 −2
−2 1 2
x
0
y
0
z
0
. (12.19)
Подставим (12.19) в (12.18). После подстановки наше уравнение примет вид
(12.12):
F (x
0
, y
0
, z
0
) = 9x
02
+ 2a
0
14
x
0
+ 2a
0
24
y
0
+ 2a
0
24
z
0
+ 45 = 0.
Для нахождения новой линейной части подставим (12.19) в линейную часть
уравнения (12.18):
−28x + 2y + 16z = −
28
3
(2x
0
+ 2y
0
+ z
0
) +
2
3
(−x
0
+ 2y
0
− 2z
0
)+
16
3
(−2x
0
+ y
0
+ 2z
0
) = −30x
0
− 12y
0
.
Получаем уравнение поверхности после преобразования (12.19):
42

Страницы