Методы решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия". Кулагина И.В - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

2) поворот R
O,α
на уголь α против часовой стрелки вокруг некоторой точки
O;
3) скользящая симметрия S
L,a
, представляющая собой композицию парал-
лельного переноса T
a
и симметрии(отражения) относительно прямой L, ко-
торая параллельна a.
Оказывается, что других примеров движений плоскости не существует.
Теорема Шаля для плоскости. Всякое движение на плоскости есть либо
параллельный перенос, либо поворот, либо скользящая симметрия.
Движение в пространстве определяется аналогично.
Определение 13.2. Отображение F евклидова пространства E
3
на себя на-
зывают движением, если оно сохраняет расстояние. То есть ρ(F (A), F (B)) =
ρ(A, B) для всех точек A, B ∈ E
3
.
Выберем декартову систему координат O, e
1
, e
2
, e
3
. Пусть для произволь-
ной точки A с координатами (x, y, z) точка F (A) имеет координаты (x
0
, y
0
, z
0
).
Тогда
x
0
y
0
z
0
= T
x
y
z
+
a
b
c
(13.2)
где T — некоторая ортогональная матрица и a, b, c –вещественные числа. При-
ведём примеры движений пространства:
1) винтовое движение T
L,a,α
, представляющее собой композицию параллель-
ного переноса T
a
на вектор a и вращения вокруг оси L с направляющим
вектором a на угол α против часовой стрелки;
2) поворотная симметрия R
L,Π,α
, представляющая собой композицию отраже-
ния относительно плоскости Π и поворота вокруг оси L, перпендикулярной
Π, на угол α;
3) скользящая симметрия S
Π,a
, представляющая собой композицию парал-
лельного переноса T
a
и симметрии(отражения) относительно плоскости Π,
которая параллельна a.
Теорема Шаля в пространстве. Всякое движение в пространстве есть
либо винтовое движение, либо поворотная симметрия, либо скользящая сим-
метрия.
Движение на плоскости и в пространстве называют собственным, если оно
сохраняет ориентацию, и, соответственно, несобственным, если оно меняет
ориентацию. Если записать движение в координатной форме (13.1) и (13.2),
то движение собственное, если det T = 1, и несобственное, если det T = −1.
Собственные движения плоскости – параллельные переносы и повороты.
Всякое несобственное движение плоскости – скользящая симметрия.
44

Страницы