Методы решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия". Кулагина И.В - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Направляющий вектор прямой L является собственным вектором для мат-
рицы T с собственным значением 1. Из системы уравнений
(T − E)
x
y
=
0
0
получаем a =
√
3
1
.
Найдём точку на прямой L. Воспользуемся следующим свойством скользя-
щей симметрии: для любой точки A плоскости середина отрезка AS
L,a
(A)
принадлежит прямой L. Выберем произвольную точку, скажем A = (0, 0).
Из(13.4) находим её образ A
0
= (1, 2). Середина B = (1/2, 1) ∈ L. Канониче-
ское уравнение прямой L имеет вид:
x − 1/2
√
3
=
y − 1
1
. (13.5)
Осталось найти вектор переноса a. Для этого найдём образ B
0
точки B на
прямой L. Вектор a совпадает с вектором
−−→
BB
0
. Получаем
B
0
=
5
4
+
√
3
2
3
2
+
√
3
4
!
, a =
−−→
BB
0
=
3
4
+
√
3
2
1
2
+
√
3
4
!
.
Ответ. Скользящая симметрия S
L,a
, где L задаётся уравнением (13.5) и
a = c
√
3
1
, где c =
1
2
+
√
3
4
.
Задача 13.5. Определить вид движения
x
0
y
0
z
0
=
1
15
11 2 10
2 14 −5
−10 5 10
x
y
z
+
7
4
6
(13.6)
Решение. Вычислим определитель
det T =
1
15
3
11 2 10
2 14 −5
−10 5 10
= 1.
Движение (13.6) собственное и, следовательно, является винтовым движе-
нием T
L,a,α
. Найдём уравнение прямой L, вектор переноса a и угол поворота
α.
Направляющий вектор прямой f, вокруг которой происходит вращение,
является собственным вектором матрицы T с собственным значением 1: Из
46

Страницы