Методы решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия". Кулагина И.В - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Всякое собственные движение пространства – винтовое движение. Несоб-
ственные движения пространства бывают двух видов: поворотные симметрии
и скользящие симметрии.
Задача 13.3. Определить вид движения
x
0
y
0
=
1
2
−
√
3
2
√
3
2
1
2
!
x
y
+
1
2
(13.3)
Решение. Вычислим определитель матрицы:
det T =
1
2
−
√
3
2
√
3
2
1
2
= 1.
Наше движение собственное и,следовательно, либо поворот, либо парал-
лельный перенос.
Линейный оператор
−→
AB →
−−−−−−−→
F (A)F (B) является оператором поворота на
угол
π
3
против часовой стрелки. Движение (13.3)является поворотом на угол
π
3
против часовой стрелки вокруг некоторого центра. Центр поворота является
единственной неподвижной точкой. Подставим x, y вместо x
0
, y
0
в левую часть
формул (13.3):
x
y
=
1
2
−
√
3
2
√
3
2
1
2
!
x
y
+
1
2
Решив эту систему уравнений, мы получим координаты центра поворота x =
1−2
√
3
2
, y =
2+
√
3
2
Ответ. Данное движение — поворот против часовой стрелки на угол α =
π
3
вокруг точки O
1−2
√
3
2
,
2+
√
3
2
Задача 13.4 Определить вид движения
x
0
y
0
=
1
2
√
3
2
√
3
2
−
1
2
!
x
y
+
1
2
(13.4)
Решение.
Поскольку
det T =
1
2
√
3
2
√
3
2
−
1
2
= −1,
то движение (13.4) несобственное и, следовательно, является скользящей сим-
метрией S
L,a
. Наша цель – найти уравнение прямой L и вектор переноса a.
45

Страницы