Задачи по радиоспектроскопии. Куприянова Г.С - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

ψ
ψ
ψ
ψ
J
J
J
J
r
r
r
r
()
()
...
()
()
−
−+
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
1
1
, причем |()|
ψ
m
m
rdr
2
1
∑
∫
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= (A.43)
Пусть частица обладает спином J=1/2 в единицах
h
, тогда согласно (A.39) существует
(2J+1=2) только два собственных значения оператора
r
$
Ι
z
, m
1
=1/2 и m
2
=-1/2, которым
соответствуют два собственных ортонормированных состояния, их обозначают
соответственно |α> и |β> и которые удовлетворяют соотношениям
<>=<>=<>=
<
>=
>= > >= − >
α
α
β
β
α
β
β
α
αα β β
|,|,| |
$
||,
$
||
1100
1
2
1
2
ΙΙ
zz
(A.44)
Для операторов
r
$
Ι
+
и
r
$
Ι
-
, используя (A.39) можно записать
$
||Ι
+
>= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
>=
αβ
1
2
1
2
1
1
2
1
2
10
$
||Ι
−
>= >
αβ
,
$
|Ι
−
>=
β
0
(A.45)
$
|||Ι
+
>= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
>= >
βαα
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
Применяя (A.37) можно получить выражения для операторов
r
$
Ι
x
и
r
$
Ι
y
()
()
$$$$ $$
ΙΙΙΙ ΙΙ
xy
i
=+ = −
+− + −
1
2
1
2
(A.46)
и тогда
$
|
$
|
$
||
$
|
$
|
$
||ΙΙ Ι ΙΙ Ι
xx
αα αβββ βα
>= > + >= > >= > + >= >
+− +−
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
$
|
$
|
$
||
$
|
$
|
$
||ΙΙ Ι ΙΙΙ
yy
ii
i
ii
i
αααβββ βα
>= > − >= > >= > − >= − >
+− +−
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(A.47)
При решении задач часто возникает необходимость в использовании не только
коммутационных соотношений, но и различных комбинаций из произведений
операторов. Полезными будут следующие соотношения /4/:
$
|
$$
|
$
||
$
|
$$
|
$
||ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ
xxxx xxxx
22
1
2
1
4
1
2
1
4
ααβαββαβ
>= >= >= > >= >= >= >
В операторной форме это можно переписать в виде 
   ⎛ ψ J (r ) ⎞
   ⎜ ψ (r ) ⎟
   ⎜ J −1 ⎟                        ⎧                    ⎫
   ⎜ ...            ⎟ , причем
   ⎜ ψ − J +1 ( r ) ⎟
                                 ∫ ⎨⎩∑ |ψ
                                       m
                                            m   ( r )|2 ⎬dr = 1
                                                        ⎭
                                                                                                       (A.43)

   ⎜                ⎟
   ⎝ ψ − J (r ) ⎠

Пусть частица обладает спином J=1/2 в единицах h , тогда согласно (A.39) существует
                                                    r
(2J+1=2) только два собственных значения оператора Ι$ z , m1=1/2 и m2=-1/2, которым
соответствуют два собственных ортонормированных состояния, их обозначают
соответственно |α> и |β> и которые удовлетворяют соотношениям
  < α |α >= 1, < β | β >= 1, < α | β >= 0 < β |α >= 0
            1                   1                                                                       (A.44)
  Ι$ z |α >= |α >, Ι$ z | β >= − | β >
            2                   2
                 r$     r$
Для операторов Ι + и Ι - , используя (A.39) можно записать

                 1⎛1 ⎞ 1⎛1 ⎞
   Ι$ + |α >=     ⎜ + 1⎟ − ⎜ + 1⎟ | β >= 0
                 2⎝2 ⎠ 2⎝2 ⎠

   Ι$ − |α >= | β > ,       Ι$ − | β >= 0                                                             (A.45)

                 1⎛1 ⎞ 1⎛        1⎞
   Ι$ + | β >=     ⎜ + 1⎟ + ⎜ 1 − ⎟ |α >=|α >
                 2 ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2⎠
                                                        r      r
Применяя (A.37) можно получить выражения для операторов Ι$ x и Ι$ y
         1
            (
   Ι$ x = Ι$ + + Ι$ −
         2
                        )   Ι$ y =
                                   1 $
                                       (
                                      Ι − Ι$ −
                                   2i +
                                                  )                                                   (A.46)

и тогда
             1           1          1                                1            1           1
   Ι$ x |α >= Ι$ + |α > + Ι$ − |α >= | β >                Ι$ x | β >= Ι$ + | β > + Ι$ − | β >= |α >
             2           2          2                                2            2           2
             1           1          1                   1            1             1
   Ι$ y |α >= Ι$ + |α > − Ι$ − |α >= i | β > Ι$ y | β >= Ι$ + | β > − Ι$ − | β >= − i |α >
             2i          2i         2                   2i           2i            2
  (A.47)
При решении задач часто возникает необходимость в использовании не только
коммутационных соотношений, но и различных комбинаций из произведений
операторов. Полезными будут следующие соотношения /4/:
                                   1      1                                       1     1
   Ι$ 2x |α >= Ι$ x Ι$ x |α >= Ι$ x | β >= |α > Ι$ 2x | β >= Ι$ x Ι$ x | β >= Ι$ x |α >= | β >
                                   2      4                                       2     4

В операторной форме это можно переписать в виде

Страницы