Задачи по радиоспектроскопии. Куприянова Г.С - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

где |
φ
Jm,
〉
-одновременно нормированный кет-вектор операторов
r
$
Ι
2
и
r
$
Ι
z ,
который
часто обозначается только квантовыми числами J и m | J,m>.Необходимс отметить, что
собственные кет-векторы, соответствующие различным значениям J и различным зна-
чениям m, в силу свойства эрмитовости операторов
r
$
Ι
i
ортогональны
<>=JmJm', | ,
δ
δ
JJ mm``
(A.40)
В гильбертовом пространстве, в котором
r
$
Ι
i
эрмитовы операторы, собственные
значения оператора
r
$
Ι
2
могут иметь только вид J(J+1) (A.39), где J принадлежит
множеству { 0, 1/2, 1, 3/2, 2 . . . }. Для каждого J существует (2J+1) ортонормироанных
кет-векторов оператора
r
$
Ι
z
, имеющих собственные значения m=J, J-1, ..-J+1, -J.
Определение 9.
Собственное значение J называется угловым моментом; собственное
значение m называется z-компонентой углового момента.
Собственные значения {J,m}разделяются на два множества: целые значения и
полуцелые значения. Орбитальный угловой момент
L относится к пространственному
движению частиц и имеет вид (A.27), (A.28 ); орбитальный угловой момент всегда
целочисленный. Спиновый угловой момент
I относится к внутренним свойствам
частицы и может быть как целым, так и полуцелым.
Следует обратить внимание на то, что хотя величина вектора углового момента рав-
на
JJ()+1 (A.39) , максимальное значение проекции этого вектора на ось Z равно m
(в единицах
h ), не равное величине самого вектора, что с точки зрения классической
механики просто невозможно. Объяснение этого парадокса кроется в основах кванто-
вой механики - в принципе неопределенности. Так как компоненты углового момента
не коммутируют (A.36),невозможно одновременно измерить все три компонен-
ты.Когда же вектор ориентируется вдоль оси Z, остается конечная вероятность
ориентации этого
же вектора вдоль осей Х и Y. Неопределенность при измерении
величин А и В, кото-рые задаются операторами
$
A
и
$
B
согласно квантово-
механическим законам дается соотношением /2/:
[]
()()
$
,
$
ΔΑ ΔΒ Α Β
22
2
2
⋅≥
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
i
Тогда неопределенность компонент Х, Y будет
()ΔΙ
x
2
⋅ ()
$
ΔΙ Ι
yz
m
22 2
1
4
1
4
≥=
Неопределенность этих компонент может быть оценена также из выражения: 
                                                                      r      r
где | φ    J ,m   〉 -одновременно нормированный кет-вектор операторов Ι$ 2 и Ι$ z , который

часто обозначается только квантовыми числами J и m | J,m>.Необходимс отметить, что
собственные кет-векторы, соответствующие различным значениям J и различным зна-
                                                 r
чениям m, в силу свойства эрмитовости операторов Ι$ i ортогональны
< J ', m| J , m >= δ J `J δ m`m                                                    (A.40)
                                            r
   В гильбертовом пространстве, в котором Ι$ i эрмитовы операторы, собственные
                   r
значения оператора Ι$ 2 могут иметь только вид J(J+1) (A.39), где J принадлежит
множеству { 0, 1/2, 1, 3/2, 2 . . . }. Для каждого J существует (2J+1) ортонормироанных
                          r
кет-векторов оператора Ι$ z , имеющих собственные значения m=J, J-1, ..-J+1, -J.
Определение 9. Собственное значение J называется угловым моментом; собственное
значение m называется z-компонентой углового момента.
     Собственные значения {J,m}разделяются на два множества: целые значения и
полуцелые значения. Орбитальный угловой момент L относится к пространственному
движению частиц и имеет вид (A.27), (A.28 ); орбитальный угловой момент всегда
целочисленный. Спиновый угловой момент I относится к внутренним свойствам
частицы и может быть как целым, так и полуцелым.
     Следует обратить внимание на то, что хотя величина вектора углового момента рав-
на     J ( J + 1) (A.39) , максимальное значение проекции этого вектора на ось Z равно m

(в единицах h ), не равное величине самого вектора, что с точки зрения классической
механики просто невозможно. Объяснение этого парадокса кроется в основах кванто-
вой механики - в принципе неопределенности. Так как компоненты углового момента
не коммутируют (A.36),невозможно одновременно измерить все три компонен-
ты.Когда же вектор ориентируется вдоль оси Z, остается конечная вероятность
ориентации этого же вектора вдоль осей Х и Y. Неопределенность при измерении
величин А и В, кото-рые задаются операторами A$ и B$ согласно квантово-
механическим законам дается соотношением /2/:
                                      2
                     ⎧i $ $ ⎫
     ( ΔΑ) ⋅ ( ΔΒ) ≥ ⎨ [ Α
            2          2
                           , Β]⎬
                     ⎩2        ⎭
Тогда неопределенность компонент Х, Y будет
                                 1 2 1 2
     ( ΔΙ x ) 2 ⋅ ( ΔΙ y ) 2 ≥    Ι$ = m
                                 4 z 4
Неопределенность этих компонент может быть оценена также из выражения:

Страницы