Задачи по радиоспектроскопии. Куприянова Г.С - 6 стр.

                  r        r      r
                  ex       ey     ez
    L$ = −ih x                y   z ,                                                     (A.28)
                  ∂         ∂     ∂
                  ∂x       ∂ y    ∂z
Выражения для составляющих этого оператора можно найти , раскрыв детерминант :
                    ∂      ∂                    ∂     ∂                     ∂     ∂
    L$ x =-i h( y      −z     ) , L$ y =-i h( z    −x    ) , L$ z =-i h( x     −y    )
                    ∂z    ∂ y                   ∂x    ∂z                   ∂ y    ∂x
Можно показать, что операторы углового момента подчиняются фундаментальному
коммутационному правилу:
[ L$ i, L$ j] =i h L$ k,                                                                 (A.29)
где i,j,k обозначают x,y,z и их циклические перестановки.
   Оператор квадрата углового момента определяется как:
    L$ 2 = L$2x + L$2y + L$2z ,                                                           (A.30)
                                                    2
используя (A.28), получаем явный вид L$
                        ∂     ∂ 2       ∂     ∂        ∂     ∂ 2
    L$ 2 = − h 2 [( y      −z    ) + (z    − x )2 + (x    −y    ) ]
                        ∂z    ∂y        ∂x    ∂z       ∂y    ∂x
Оператор квадрата углового момента коммутирует c L$
[ L$ , L$ 2 ]=0                                                                          (A.31)
   Уравнение для нахожления собственных функций и собственных значений
оператора квадрата углового момента имеет вид ( Опр. 3, (A.4) )
    L$ 2 ψ l = Llψ l                                                                     (A.32)
Решение этого уравнения для целочисленных значений квантовых чисел дает :
    Ll = h 2 l (l + 1),
                                                                                         (A.33)
    ψ l ,m = Υl ,m (θ , φ )

где Υl ,m (θ , φ ) -присоединенный полином Лежандра степени l , порядка m;

l , m-целочисленные квантовые числа, которые удовлетворяют неравенству
l ≥ ⎪m ⎪. Для оператора проекции углового момента на выделенное направление z
аналогичное уравнение будет
L$ z φ m = l z φ m ,                                                                     (A.34)

                                              1
решением которого является φ m =                   e im ϕ , и lz = h m ,
                                              2m
где m = 0, ±1, ±2, …±l .