Задачи по радиоспектроскопии. Куприянова Г.С - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

$$$$$$
ΙΕΙΕΙΕ
xyz
222
1
4
1
4
1
4
== =
, (A.48)
где
$
Ε
- единичный оператор.
Легко получить следующие полезные формулы:
$$
|
$
||
$
|ΙΙ Ι Ι
xy x z
i
ii
αβαα
>=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
>= >= >
1
242
$$
|
$
||
$
|ΙΙ Ι Ι
xy x z
iii
βαββ
>= −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
>= − >= >
242
Проводя сходные вычисления, можно доказать, что:
$$ $ $$ $ $$ $
$$ $ $$ $ $$ $
ΙΙ Ι ΙΙ Ι ΙΙ Ι
ΙΙ Ι ΙΙ Ι ΙΙ Ι
xy z yz x zx y
yx z zy x xz y
iii
iii
===
=− =− =−
222
222
(A.49)
Матричное представление вышеперечисленных операторов в базисе функций ⏐α〉
и ⎟β〉 можно найти, используя (A.42) и (A.46). В качестве примера найдем матричное
представление для операторов
$
,
$
,
$
ΙΙΙ
2
z ±
. Согласно (A.42), матрицы операторов
$
,
$
ΙΙ
2
z
будут диагональны, так как символы Кронеккера отличны от нуля, если
J`=J и m`=m. Тогда для J=1/2 матричные элементы будут равны:
<>=
<− −>=
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
2
2
,|
$
|,
,|
$
|,
Ι
Ι
, и
Ι
2
3
4
0
0
3
4
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
(A.50)
<>=
<− −>=−
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
,|
$
|,
,|
$
|,
Ι
Ι
z
z
, и
Ι
z
=
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1
2
0
0
1
2
(A.51)
Наоборот, диагональные элементы
$
Ι
±
будут равны нулю согласно (A.42). Найдем
недиагональные элементы этих операторов:
ΙΙ
ΙΙ
+−
+
−−
−
=< − >= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
=< − >= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
,,
,,
,|
$
|,
,|
$
|,
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
11
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
11
Окончательно получаем:
ΙΙ
+−
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
01
00
00
10
(A.52)
Для нахождения матриц I
x
и I
y
удобнее использовать формулы (A.46) 
          1          1          1
   Ι$ 2x = Ε$ Ι$ 2y = Ε$ Ι$ 2z = Ε$ ,                                                         (A.48)
          4          4          4

где Ε$ - единичный оператор.
Легко получить следующие полезные формулы:
                        ⎛1 ⎞       i     i                                ⎛ i⎞         i      i
   Ι$ x Ι$ y |α >= Ι$ x ⎜ i⎟ | β >= |α >= Ι$ z |α > Ι$ x Ι$ y | β >= Ι$ x ⎜ − ⎟ |α >= − | β >= Ι$ z | β >
                        ⎝2 ⎠       4     2                                ⎝ 2⎠         4      2
Проводя сходные вычисления, можно доказать, что:
               i                        i                          i
   Ι$ x Ι$ y = Ι$ z        Ι$ y Ι$ z = Ι$ x           Ι$ z Ι$ x = Ι$ y
               2                        2                          2
                                                                                               (A.49)
                 i                        i                          i
   Ι$ y Ι$ x = − Ι$ z       Ι$ z Ι$ y = − Ι$ x         Ι$ x Ι$ z = − Ι$ y
                 2                        2                          2
Матричное представление вышеперечисленных операторов в базисе функций ⏐α〉
и ⎟β〉 можно найти, используя (A.42) и (A.46). В качестве примера найдем матричное

представление для операторов Ι$ 2 , Ι$ z , Ι$ ± . Согласно (A.42), матрицы операторов Ι$ 2 , Ι$ z
будут диагональны, так как символы Кронеккера отличны от нуля, если
J`=J и m`=m. Тогда для J=1/2 матричные элементы будут равны:
    1 1 $2 1 1        3                                                  ⎛3       ⎞
   < , | Ι | , >=                                                        ⎜     0⎟
    2 2        2 2    4
                                                 ,и                 Ι2 = ⎜ 4   3 ⎟⎟           (A.50)
    1 1         1 1     3                                                ⎜0
   < ,− | Ι$ 2 | , − >=                                                  ⎝     4⎠
    2 2         2 2     4
    1 1 $ 1 1         1                                                  ⎛1       ⎞
   < , | Ι z | , >=                                                             0 ⎟
    2 2       2 2     2                                                  ⎜
                                                 ,и                 Ιz = ⎜ 2      ⎟            (A.51)
    1 1          1 1       1                                             ⎜0      1⎟
   < , − | Ι$ z | , − >= −                                                     −
    2 2          2 2       2                                             ⎝       2⎠

Наоборот, диагональные элементы Ι$ ± будут равны нулю согласно (A.42). Найдем
недиагональные элементы этих операторов:

                       1 1 $ 1 1                  1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞
    Ι             =<    , | Ι | ,− >=               ⎜ + 1⎟ − ⎜ − ⎟ ⎜ − + 1⎟ = 1
          1 1
        +, , −
          2 2
                       2 2 + 2 2                  2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠
                       1 1 $ 1 1                 1⎛1 ⎞ 1⎛1 ⎞
    Ι             =<    ,− | Ι | , >=             ⎜ + 1⎟ − ⎜ − 1⎟ = 1
            1 1
        − ,− ,
            2 2
                       2 2 − 2 2                 2⎝2 ⎠ 2⎝2 ⎠

Окончательно получаем:
        ⎛ 0 1⎞                  ⎛ 0 0⎞
   Ι+ = ⎜    ⎟             Ι− = ⎜    ⎟                                                        (A.52)
        ⎝ 0 0⎠                  ⎝ 1 0⎠
Для нахождения матриц Ix и Iy удобнее использовать формулы (A.46)

Страницы