Задачи по радиоспектроскопии. Куприянова Г.С - 13 стр.

здесь Ι$1x , Ι$1 y , Ι$1z - проекции углового момента 1-го спина I1 на оси x, y, z

соответственно; Ι$ 2 x , Ι$ 2 y , Ι$ 2 z - проекции углового момента 2-го спина I2 на оси x, y, z;

Ε$ 1 , Ε$ 2 - единичные операторы, записанные в базисе собственных функций операторов
              r r r
I1 и I2.; i , j , k - единичные векторы, определяющие направление осей x, y, z; ⊗ -
означает прямое произведение.
   Все матрицы операторов двухспиновой системы будут иметь размерность
(2J1+1)(2J2+1). Для протонной системы, в которой J1=J2=1/2 размерность матриц
должна равняться -4.
   Существуют различные возможности выбора базисных функций для нахождения
матричного представления. Наиболее часто используются два важных матричных
представления для I /3/:
   J`-представление, в котором в качестве базисных функций выбираются
мультипликативные функции, составленные из собственных функций составляющих
операторов Ι$1 , Ι$ 2 |m1> и |m2>, т.е. |m1m2>.
   J``-представление, в котором в качестве базисных функций выбираются собственные
функции операторов Ι$ 2 и Ι$ z , т.е. |J,m>, где J- суммарный спин системы.
   Базисные волновые функции |m1m2> в J`-представлении могут быть найдены
прямым произведением собственных функций односпиновых операторов. Для системы,
где J1=J2=1/2 , базисные функции образуются из :

    1        ⎛ 1⎞             1          ⎛ 0⎞
   | >=|α >= ⎜ ⎟         |−     >=| β >= ⎜ ⎟
    2        ⎝ 0⎠             2          ⎝ 1⎠
Тогда базисные функции двухспиновой системы будут:
                            ⎛ 1⎞                                          ⎛ 0⎞
                            ⎜ ⎟                                           ⎜ ⎟
    1 1         ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 0⎟                   1 1          ⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ 1⎟
   | , >=|αα >= ⎜ ⎟ ⊗ ⎜ ⎟ =                     | ,− >=|αβ >= ⎜ ⎟ ⊗ ⎜ ⎟ =
    2 2         ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎜ 0⎟                   2 2          ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ ⎜ 0⎟
                            ⎜ ⎟                                           ⎜ ⎟
                            ⎝ 0⎠                                          ⎝ 0⎠
                              ⎛ 0⎞                                          ⎛ 0⎞
                              ⎜ ⎟                                           ⎜ ⎟
     1 1          ⎛ 0⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 0⎟                  1 1           ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ 0⎟
   |− , >=| βα >= ⎜ ⎟ ⊗ ⎜ ⎟ =                   |− ,− >=| ββ >= ⎜ ⎟ ⊗ ⎜ ⎟ =
     2 2          ⎝ 1⎠ ⎝ 0⎠ ⎜ 1⎟                  2 2           ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠ ⎜ 0⎟
                              ⎜ ⎟                                           ⎜ ⎟
                              ⎝ 0⎠                                          ⎝ 1⎠
Переход к J`` представлению может быть осуществлен с помощь матриц С,
                                          Jm
составленных из коэффициентов C J1 m1 J2 m2 Клебша-Гордона, так как