Задачи по радиоспектроскопии. Куприянова Г.С - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

|||Jm J J m m Jm m m>= < > >
∑
12 1 2 1 2
(A.58)
CJ C J C J C J
$$$$
′′
=
′′
=
′′
−−11
Здесь
$
,
$
′′ ′
JJ-любые операторы, записанный соответственно в J`` и J`-представлениях,
а
C
JmJ m
Jm
112 2
= <J
1
J
2
m
1
m
2
| J m > (A.59)
-действительная унитарная матрица.
Матричные элементы матрицы С, являющиеся коэффициентами Клебша-Гордона
находятся по формуле (A.60)
C
JJJJJJJJJJ
JJJ
Jm Jm Jm Jm JmJm
nJJ m nJ J JnJ mnJ m nJJ mn
JmJm
Jm
mm m
n
n
112 2
12
21
1
1
12 12 21
12
1111 2 2 2 2
12 12 11 22 21
=
++− +− +−
+++
×
×
−+−+ −+−
−−+ +−− −− +− −++
+
∑
δ
,
( )( )!( )!( )!
()!
( ) ( )!( )!( )!( )!( )!( )!
!( )!( )!( )!( )!( )!
суммирование проводится по всем целым числам, при которых ни один из
факториальных множителя не равен целому отрицательному числу. Для двухспиновой
системы с J
1
=J
2
=1/2 матрица Клебша-Гордона, осуществляющая переход от J` к J``
представлению имеет вид:
CmmJm=< >=
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
<
<−
<−
<− −
>>>−>
(,, | )
,|
,|
,|
,|
||||
1
2
1
2
0 100
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
0 001
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
00 11 10 1 1
12
(A.61)
Вычисление коэффициентов Клебша-Гордона облегчается использованием 3j-символов
/2/
JJJ
mm m
J
JmJm J m
JJm
12
12
112 2
1
21
12
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
≡
−
+
<−>
−−
()
()
|
Cоотношения между элементами матрицы С, а также ряд коэффициентов Клебша-
Гордона могут быть получены на основании некоторых общих свойств коэффициентов
C
Jm Jm
Jm
112 2
.
Cвойства коэффициентов Клебша-Гордона.
1. Из определения (A.58) и (A.59) следует, что
||C
Jm J m
Jm
11 2 2
2
-определяет вероятность
найти в системе с полным угловым моментом J и его проекцией на ось z -m, проекцию 
      | Jm >= ∑ < J 1 J 2 m1 m2 | Jm >| m1 m2 >                                                               (A.58)


      CJ$ ′′C −1 = J$ ′ C −1 J$ ′C = J$ ′′

Здесь J$ ′′, J$ ′ -любые операторы, записанный соответственно в J`` и J`-представлениях,
       Jm
а C J1 m1 J2 m2 =                                                                         (A.59)

-действительная унитарная матрица.
Матричные элементы матрицы С, являющиеся коэффициентами Клебша-Гордона
находятся по формуле                                                                                 (A.60)

                                 (2 J + 1)( J 1 + J 2 − J )!( J + J 1 − J 2 )!( J + J 2 − J 1 )!
C JJ1mm1 J2 m2 = δ m , m1 + m2                                                                   ×
                                                      ( J 1 + J 2 + J + 1)!
                         ( −1) n ( J 1 + m1 )!( J 1 − m1 )!( J 2 + m2 )!( J 2 − m2 )!( J + m)!( J − m)!
      ×∑
         n   n!( J − J 1 − m2 + n)!( J 1 + J 2 − J − n)!( J 1 − m1 − n)!( J 2 + m2 − n)!( J − J 2 + m1 + n)!

суммирование проводится по всем целым числам, при которых ни один из
факториальных множителя не равен целому отрицательному числу. Для двухспиновой
системы с J1=J2=1/2 матрица Клебша-Гордона, осуществляющая переход от J` к J``
представлению имеет вид:

                                  ⎛ 0                   1     0     0⎞      < 12 , 12 |
                                  ⎜ 1                         1      ⎟        1     1
                                  ⎜                     0           0⎟      < ,− |
             1 1                     2                         2              2     2
      C = ( < , , m1m2 | J m >) = ⎜ 1                         1
                                                                     ⎟
                                                                                 1 1
             2 2                  ⎜−                    0           0⎟      <− , |                            (A.61)
                                  ⎜   2                        2     ⎟           2 2
                                  ⎜                                  ⎟
                                  ⎝ 0                   0     0     1⎠     < − 2 ,− 1 2 |
                                                                               1

                                           |0 0 > |11 > |1 0 > |1 − 1 >
Вычисление коэффициентов Клебша-Гордона облегчается использованием 3j-символов
/2/
⎛ J 1 J 2 J ⎞ ( −1) J1 − J2 − m
⎜           ⎟≡                  < J 1m1 J 2 m2 | J − m >
⎝ m1 m2 m⎠       (2 J + 1)

      Cоотношения между элементами матрицы С, а также ряд коэффициентов Клебша-
Гордона могут быть получены на основании некоторых общих свойств коэффициентов
C JJ1mm 1 J2 m 2 .

      Cвойства коэффициентов Клебша-Гордона.
1. Из определения (A.58) и (A.59) следует, что | C JJ 1mm 1 J 2 m 2 |2 -определяет вероятность

найти в системе с полным угловым моментом J и его проекцией на ось z -m, проекцию

Страницы