Задачи по радиоспектроскопии. Куприянова Г.С - 18 стр.

                                C$       C$
        $ +Β
       (Α  $)           $   $Β −              $    $
   e                = e e e = e eΒ e Α
                        Α        2       2
                                                                                           (A.70)
                 $ является одним из операторов углового момента частицы со
3. Если оператор Α
спином J=1/2 ( Ι$ x , y ,z , Ι$ ), то группируя четные и нечетные члены степенного ряда (A.68)

можно получить

         $
       iαΑ        $ ⎛   α2     α4     α6     ⎞     $ ⎛    α3     α5    ⎞
   e            = E⎜1 −    2 +    4 −    6 +L⎟ + 2iΑ⎜α −     3 +   5 −L⎟ ,
                    ⎝ 2!2 4!2 6!2            ⎠       ⎝   3!2 5!2       ⎠
учитывая, что А2 =Е/4 , а А3 = А/4. В первой скобке содержится разложение в ряд
                                     α                            α
Тейлора функции cos (                    ) , во второй - sin(         ) . Таким образом, для односпинового
                                     2                            2
          $ частиц с J=1/2 справедливо следующее выражение:
оператора Α

         $        ⎛ α⎞     $ sin⎛⎜ α ⎞⎟
   e i α Α= E$ cos⎜ ⎟ + 2i Α                                                                          (A.71)
                  ⎝ 2⎠           ⎝ 2⎠
Такая форма (A.71) экспоненциального оператора допускает матричное представление
                 $ ≡ Ι$ и пусть α = ω t , тогда
Пусть в качестве Α     я


      $$           ⎛ω t ⎞          ⎛ω t ⎞
e i ω Iz t = Ε$ cos⎜ ⎟ + 2i Ι$z sin⎜ ⎟                                                              (A.72)
                   ⎝ 2⎠            ⎝ 2⎠
Используя матричное представление операторов Ε$ , Ι$ z ( А.51), получим

       i ω I$ z t        ⎛ ω t ⎞ ⎛1 0⎞         ⎛ ω t ⎞ 1 ⎛1 0 ⎞
   e                = cos⎜ ⎟ × ⎜     ⎟ + 2i sin⎜ ⎟ × ⎜        ⎟
                         ⎝ 2 ⎠ ⎝0 1⎠           ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 0 − 1⎠
Выразим соs (ωt/2) и sin(ωt/2) через exp( iωt/2), используя формулы Эйлера.
Окончательно получим

                     ⎛ i ω2t       ⎞
       i ω I$ z t    ⎜e       0 ⎟
   e                =⎜       −i
                                ωt
                                   ⎟                                                                (A.73)
                     ⎝ 0 e 2⎠
Применение формулы Эйлера к экспоненциальному оператору дает

   e i θ Ι z = cos(θ Ι$z ) + i sin(θ Ι$z )
         $



и, сравнивая с (A.72), получим несколько полезных соотношений:
                         θ                                             θ
   cos(θ Ι$ z ) = E$ cos( Ι$ z )              sin(θ Ι$ z ) = 2Ι$ z sin( Ι$ z )                         (A.74)
                         2                                             2