Задачи по радиоспектроскопии. Куприянова Г.С - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

$
()
$
exp
$
()Ut T
i
Htdt
t
c
11
0
=−
′′
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
∫
h
(А.83)
Найдем вид пропагатора
$
()Ut
0
. Из (А.80) следует
dU t
dt
i
HtUt
$
()
$
()
$
()=−
h
, (А.84)
но с другой стороны, дифференцируя (А.82), получим
dU t
dt
dU t
dt
Ut Ut
dU t
dt
$
()
$
()
$
()
$
()
$
()
=+
1
01
0
(А.85)
Cогласно (А.83)
dU t
dt
i
HtUt
$
()
$
()
$
()
1
11
=−
h
Подставляя последнее и (А.84) в (А.85), получим
{}
−− =− +
−= ×
−=
−
−
i
HUt
i
HtUt
i
HtUt Ut
dU t
dt
i
HU t U t
dU t
dt
U
i
UHUU
dU t
dt
hh h
h
h
$$
()
$
()
$
()
$
()
$
()
$
()
$
()
$$
()
$
()
$
()
$
$$$$
$
()
01 1 1
0
01
0
1
1
1
1
01 0
0
Тогда формальное решение имеем в виде:
$
()
$
exp
~
()Ut T
i
Htdt
c
t
c
00
0
=−
′′
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
∫
h
(А.86)
где
~
$$$
HUHU
01
1
01
=
−
(А.87)
Вывод этого соотношения впервые был дан Эвансом и Паулcом /6/.
Используя условие периодичности, из (А.78) получим, что
$
U
1
(Nt
c
)=
$
U
1
(t
c
)
Тогда общее решение для матрицы плотности в момент времени t
c
(или в любой
кратный ему) можно записать в виде
ρρ
()
$
()()
$
()tUt Ut
cc c
=
−
00
1
0 , (А.88)
где
$
U
0
(t
c
) дается соотношением (А.86).
Матрица плотности за весь цикл будет равна:
ρρ
()
$
()()
$
()Nt U N t U N t
cc c
=
−
00
1
0 , (А.89)
где
$
U
0
(Nt
c
) =
$
U
0
(t
c
)
N 
                    ⎪⎧ i c $           ⎪⎫
                          t

   U 1 (t ) = T exp ⎨− ∫ H1 (t ′ )dt ′ ⎬
    $         $                                                                                   (А.83)
                     ⎪⎩ h 0             ⎪⎭

Найдем вид пропагатора U$ 0 (t ) . Из (А.80) следует

    d U$ (t )    i
              = − H$ (t ) U$ (t ) ,                                                              (А.84)
       dt        h
но с другой стороны, дифференцируя (А.82), получим

    d U$ (t ) dU$ 1 (t ) $                   dU$ 0 (t )
             =          U 0 (t ) + U$ 1 (t )                                                      (А.85)
       dt       dt                             dt
Cогласно (А.83)
    d U$ 1 (t )    i
                = − H$ 1 (t ) U$ 1 (t )
       dt          h
Подставляя последнее и (А.84) в (А.85), получим
     i $ $           i                       i                          dU$ 0 (t )
    −  H 0 U (t ) − H$ 1 (t ) U$ (t ) = − H$ 1 (t ) U$ (t ) + U$ 1 (t )
     h               h                       h                            dt
     i                         dU$ 0 (t )
    − H$ 0U$ (t ) = U$ 1 (t )                  U$ 1−1 ×
     h                           dt
     i                            dU$ 0 (t )
    − {U$ 1−1 H$ 0 U$ 1 } U$ 0 =
     h                                dt
Тогда формальное решение имеем в виде:
                       ⎧⎪ i tc ~           ⎫⎪
    U 0 (t c ) = T exp ⎨− ∫ H 0 (t ′ )dt ′ ⎬
     $           $                                                                   (А.86)
                        ⎪⎩ h 0              ⎪⎭
    ~
где H 0 = U$ 1−1 H$ 0 U$ 1                                                           (А.87)
Вывод этого соотношения впервые был дан Эвансом и Паулcом /6/.
Используя условие периодичности, из (А.78) получим, что
   U$ 1(Ntc)= U$ 1(tc)
Тогда общее решение для матрицы плотности в момент времени tc (или в любой
кратный ему) можно записать в виде
    ρ (t c ) = U$ 0 (t c ) ρ (0) U$ 0−1 (t c ) ,                                        (А.88)

где U$ 0(tc) дается соотношением (А.86).
Матрица плотности за весь цикл будет равна:
    ρ ( Nt c ) = U$ 0 ( N t c ) ρ (0) U$ 0−1 ( N t c ) ,                                 (А.89)

где U$ 0(Ntc) = U$ 0(tc)N

Страницы