Задачи по радиоспектроскопии. Куприянова Г.С - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

Определить вероятности индуцированных ЯМР переходов, описать наблюдаемый
спектр такой системы.
Решение.
Вероятностью квантового перехода системы из собственного состояния |ϕ
n
> с энергией Е
n
в состояние |ϕ
m
> c энергией Е
m
называется вероятность найти частицу
в состоянии с энергией Е=Е
m
в момент времени t , если в момент t=t
0
она была в
состоянии Е=Е
n
c ϕ
n
, т.е.
Р
mn
(t, t
0
)=| c
m
(t) |
2
, (3.1)
где с
m
(t) -коэффициент разложения функции ψ(t) , являющейся решением
нестационарного уравнения Шредингера, по собственным функциям оператора,
определяющего стационарные состояния системы ϕ
n .
|() ()|
ψϕ
tct
m
m
m
>= >
∑
(3.2)
Для нахождения вероятности перехода обычно решают нестационарное уравнение
Шредингера (постулат 3) вида
$
|() |()Ht i
t
t
ψ
∂
∂
ψ
>= >h , (3.3)
где
$
$
$$
cosHB B B t
zxx
=− ⋅ =− ⋅ − ⋅
γγγ ω
h
r
r
hhΙΙΙ
01
.
Гамильтониан состоит из двух частей - основного гамильтониана
$
$
HB
z00
=−
γ
h Ι ,
собственные функции и собственные значения которого уже были вычислены в
предыдущей задаче, и малого возмущения
$
$
cos ( )VB tBB
xx x
=− <<
γω
h
110
Ι .
Решение нестационарного уравнения Шредингера будем искать в виде:
|() |
ψϕ
tae
m
m
iE t
m
m
>= >
∑
−
h
, (3.4)
здесь
|
ϕ
m
>−
собственные функции гамильтониана
∃
H
0
, а
ct ae
mm
iE t
m
m
() |=>
−
h
ϕ
(3.5)
Подставим (3.4) в уравнение (3.3)
iae
iE
ae Ha e Vae t
m
iE t
m
m
m
iE t
mm
iE t
mm
iE t
m
mm mm
h
h
hh hh
&
||
$
|
$
cos |
−− −−
>− >
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=>+ >
ϕϕ ϕωϕ
0
,
умножим обе части уравнения на
e
iE t
n
n
h
<
ϕ
|и учтем ортонормированность базовых
функций (определение 5, (A.5)). Получим 
Определить вероятности индуцированных ЯМР переходов, описать наблюдаемый
спектр такой системы.
   Решение. Вероятностью квантового перехода системы из собственного состояния |ϕn
> с энергией Еn в состояние |ϕm > c энергией Еm называется вероятность найти частицу
в состоянии с энергией Е=Еm в момент времени t , если в момент t=t0 она была в
состоянии Е=Еn c ϕn, т.е.
   Рmn (t, t0 )=| cm (t) |2 ,                                                                                  (3.1)
где сm (t) -коэффициент разложения функции ψ(t) , являющейся решением
нестационарного уравнения Шредингера, по собственным функциям оператора,
определяющего стационарные состояния системы ϕn .
   |ψ (t ) >= ∑ cm (t )|ϕ m >                                                                                  (3.2)
                   m

   Для нахождения вероятности перехода обычно решают нестационарное уравнение
Шредингера (постулат 3) вида
                     ∂
    H$ |ψ (t ) >= i h |ψ (t ) > ,                                                                               (3.3)
                     ∂t
              r r$
где H$ = −γ h B ⋅ Ι = −γ h B0 ⋅ Ι$ z − γ h B1 x ⋅ Ι$ x cos ω t .

Гамильтониан состоит из двух частей - основного гамильтониана H$ 0 = −γ hB0 Ι$ z ,
собственные функции и собственные значения которого уже были вычислены в
предыдущей задаче, и малого возмущения V$ = −γ h B1x Ι$ x cos ω t                            ( B1x << B0 ) .
Решение нестационарного уравнения Шредингера будем искать в виде:
                                       iE m t
                                   −
   |ψ (t ) >= ∑ a m e                    h
                                                |ϕ m > ,                                                       (3.4)
                   m


здесь |ϕ m > − собственные функции гамильтониана H∃0 , а
                       iE m t
                   −
cm ( t ) = a m e         h
                                |ϕ m >                                                                         (3.5)
Подставим (3.4) в уравнение (3.3)
  ⎛        iE t
          − m        iE       iE t
                             − m      ⎞              iE t
                                                    − m
                                                                     iE m t
                                                                $ e − h cos ω t |ϕ > ,
ih⎜ a& m e h |ϕ m > − m a m e h |ϕ m >⎟ = H$ 0 a m e h |ϕ m > +Va m               m
  ⎝                   h               ⎠
                                                           iE n t
умножим обе части уравнения на e                             h
                                                                    < ϕ n |и учтем ортонормированность базовых
функций (определение 5, (A.5)). Получим

Страницы